解説

方針・初手

人とビルの間の水平距離を $x$ m とおくと，$\angle ABC$ は鉄塔の上端と下端への仰角の差として表せる。

したがって，

$$ \angle ABC=\tan^{-1}\frac{250}{x}-\tan^{-1}\frac{200}{x} $$

となる。この式を $x$ の関数として最大にすればよい。

解法1

人とビルの間の水平距離を $x$ m とする。

鉄塔の下端 $C$ は地上から $200$ m，上端 $A$ は地上から $250$ m の位置にあるから，それぞれへの仰角を $\alpha,\beta$ とすると

$$ \alpha=\tan^{-1}\frac{250}{x},\qquad \beta=\tan^{-1}\frac{200}{x} $$

である。

よって，求める角は

$$ \angle ABC=\alpha-\beta=\tan^{-1}\frac{250}{x}-\tan^{-1}\frac{200}{x} $$

となる。

ここで

$$ f(x)=\tan^{-1}\frac{250}{x}-\tan^{-1}\frac{200}{x}\qquad (x>0) $$

とおくと，

$$ f'(x)=\frac{-250}{x^2+250^2}+\frac{200}{x^2+200^2} $$

である。

これが $0$ となるときに極値をとるので，

$$ \frac{200}{x^2+200^2}=\frac{250}{x^2+250^2} $$

より，

$$ 200(x^2+250^2)=250(x^2+200^2) $$

$$ 200x^2+200\cdot 250^2=250x^2+250\cdot 200^2 $$

$$ 50x^2=200\cdot 250\cdot (250-200) $$

$$ x^2=200\cdot 250=50000 $$

したがって，

$$ x=100\sqrt{5} $$

となる。

また，$x\to 0$ のときも $x\to \infty$ のときも $f(x)\to 0$ であるから，この極値は最大値である。

よって，$\angle ABC$ が最大となるのは，人がビルから

$$ 100\sqrt{5}\ \mathrm{m} $$

離れたときである。

解法2

人とビルの間の水平距離を $x$ m とする。

鉄塔の上端，下端への仰角をそれぞれ $\alpha,\beta$ とすると，

$$ \tan\alpha=\frac{250}{x},\qquad \tan\beta=\frac{200}{x} $$

であり，

$$ \angle ABC=\alpha-\beta $$

である。

ここで加法定理より，

$$ \tan(\angle ABC)=\tan(\alpha-\beta) =\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} $$

となるから，

$$ \tan(\angle ABC) =\frac{\frac{250}{x}-\frac{200}{x}}{1+\frac{250}{x}\cdot\frac{200}{x}} =\frac{50x}{x^2+50000} $$

を得る。

$0<\angle ABC<\frac{\pi}{2}$ であるから，$\angle ABC$ が最大となるのは $\tan(\angle ABC)$ が最大となるときである。したがって，

$$ \frac{50x}{x^2+50000} $$

を最大にすればよい。

相加平均と相乗平均の関係より，

$$ x^2+50000\ge 2\sqrt{50000x^2}=200\sqrt{5},x $$

であるから，

$$ \frac{50x}{x^2+50000}\le \frac{50x}{200\sqrt{5},x}=\frac{1}{4\sqrt{5}} $$

となる。等号成立は

$$ x^2=50000 $$

すなわち

$$ x=100\sqrt{5} $$

のときである。

よって，やはりビルから $100\sqrt{5}$ m 離れたときに $\angle ABC$ は最大となる。

解説

この問題の本質は，「見える長さ」を仰角の差として表すことである。

上端と下端の高さがそれぞれ $250$ m，$200$ m なので，視角は

$$ \tan^{-1}\frac{250}{x}-\tan^{-1}\frac{200}{x} $$

となる。これを微分して最大値を求めてもよいし，$\tan$ をとって有理式に直し，最大化してもよい。

一般に，地上の観測点から高さ $a,b\ (a>b)$ にある2点を見たときの視角は，水平距離 $x$ が

$$ x=\sqrt{ab} $$

のとき最大になる。この問題では $a=250,\ b=200$ である。

答え

ビルから

$$ 100\sqrt{5}\ \mathrm{m} $$

離れたとき。