解説

方針・初手

$\sin A:\sin B:\sin C=2:3:4$ であるから、正弦定理より対辺の比も

$$ a:b:c=2:3:4 $$

となる。したがって、三角形の辺の比を用いて余弦定理から $\cos A$ を求め、さらに倍角公式で $\cos 2A$ を計算すればよい。

解法1

$\triangle ABC$ の辺を、それぞれ角 $A,B,C$ の対辺として $a,b,c$ とする。

正弦定理より

$$ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C} $$

であるから、

$$ a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C=2:3:4 $$

となる。よって

$$ a=2k,\quad b=3k,\quad c=4k $$

とおける。

ここで余弦定理より

$$ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A $$

であるから、

$$ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $$

となる。これに $a=2k,\ b=3k,\ c=4k$ を代入すると、

$$ \cos A =\frac{(3k)^2+(4k)^2-(2k)^2}{2\cdot 3k\cdot 4k} =\frac{9k^2+16k^2-4k^2}{24k^2} =\frac{21}{24} =\frac{7}{8} $$

したがって、倍角公式

$$ \cos 2A=2\cos^2 A-1 $$

より、

$$ \cos 2A=2\left(\frac{7}{8}\right)^2-1 =2\cdot \frac{49}{64}-1 =\frac{98}{64}-\frac{64}{64} =\frac{34}{64} =\frac{17}{32} $$

よって求める値は

$$ \cos 2A=\frac{17}{32} $$

である。

解説

$\sin A:\sin B:\sin C$ の比が与えられたとき、正弦定理によってそのまま対辺の比に読み替えられるのが重要である。すると角の情報が辺の情報に変わるので、余弦定理で $\cos A$ が直接求められる。

その後は $\cos 2A=2\cos^2A-1$ を使うだけである。最初から $\cos 2A$ を無理に扱うより、まず $\cos A$ を確定させるのが自然な流れである。

答え

$$ \cos 2A=\frac{17}{32} $$

したがって、**① $=17$** である。