解説

方針・初手

各点は速さ $1$ で $\vec e_n$ の向きに進むから、

$$ \overrightarrow{A_nP_n(t)}=t\vec e_n $$

であり、したがって

$$ \overrightarrow{P_1(t)P_2(t)}=\vec a_1-t(\vec e_1-\vec e_2) $$

となる。よって、ある時刻に $P_1(t),P_2(t)$ の距離が $1$ 以下になるという条件は、点 $\vec a_1$ が、原点を通り $\vec e_1-\vec e_2$ に平行な直線から距離 $1$ 以下にあることを意味する。これが （1） の核心である。

さらに、$\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3$ の向きを $\theta_1,\theta_2,\theta_3$ で表すと、$\vec e_1-\vec e_2$ の向きは $\theta_1+\theta_2$ で記述できる。これにより （2） が出る。

最後に、3組について同様の条件を使うと、各 $\theta_n$ がちょうど角の二等分線の方向 $\pi/6$ に近いことが分かる。そこで、時刻 $T=\dfrac{1000}{\sqrt3}$ における $P_n(T)$ は中心 $O$ に近いことを示せばよい。

解法1

**(1)**

$\lvert \vec e_1\rvert=\lvert \vec e_2\rvert=1$ であり、各点は速さ $1$ で進むから

$$ P_1(t)=A_1+t\vec e_1,\qquad P_2(t)=A_2+t\vec e_2 $$

である。したがって

$$ \overrightarrow{P_1(t)P_2(t)} =\overrightarrow{A_1A_2}+t(\vec e_2-\vec e_1) =\vec a_1-t(\vec e_1-\vec e_2) $$

となる。

仮定より、ある時刻 $t$ で

$$ d(P_1(t),P_2(t))\leqq 1 $$

が成り立つので、

$$ \left|\vec a_1-t(\vec e_1-\vec e_2)\right|\leqq 1 $$

となるような実数 $t$ が存在する。

ここで、原点を通り $\vec e_1-\vec e_2$ に平行な直線を $\ell$ とすると、上式は「点 $\vec a_1$ と直線 $\ell$ との距離が $1$ 以下」であることを意味する。$\vec e_1-\vec e_2$ と $\vec a_1$ のなす角を $\theta$ とすると、その距離は

$$ |\vec a_1|,|\sin\theta| =1000|\sin\theta| $$

であるから、

$$ 1000|\sin\theta|\leqq 1 $$

すなわち

$$ |\sin\theta|\leqq \frac{1}{1000} $$

が成り立つ。

**(2)**

座標を

$$ A_1=(0,0),\qquad A_2=(1000,0),\qquad A_3=(500,500\sqrt3) $$

とおく。このとき $\vec a_1$ は $x$ 軸の正の向きである。

$\theta_1=\angle B_1A_1A_2$ であるから、$\vec e_1$ の偏角は $\theta_1$ である。また、$\theta_2=\angle B_2A_2A_3$ であり、$\overrightarrow{A_2A_3}$ の偏角は $\dfrac{2\pi}{3}$ だから、$\vec e_2$ の偏角は

$$ \frac{2\pi}{3}+\theta_2 $$

である。

よって

$$ \vec e_1=(\cos\theta_1,\sin\theta_1),\qquad \vec e_2=\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}+\theta_2\right),\sin\left(\frac{2\pi}{3}+\theta_2\right)\right) $$

となる。ここで

$$ \phi_1=\theta_1,\qquad \phi_2=\frac{2\pi}{3}+\theta_2 $$

とおくと、

$$ \begin{aligned} \vec e_1-\vec e_2 &=(\cos\phi_1-\cos\phi_2,\ \sin\phi_1-\sin\phi_2)\\ &=2\sin\frac{\phi_2-\phi_1}{2} \left( \sin\frac{\phi_1+\phi_2}{2}, -\cos\frac{\phi_1+\phi_2}{2} \right) \end{aligned} $$

である。したがって、$\vec e_1-\vec e_2$ と $\vec a_1$ のなす角を $\theta$ とすると、

$$ |\sin\theta| =\left|\cos\frac{\phi_1+\phi_2}{2}\right| =\left|\cos\left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}+\frac{\pi}{3}\right)\right| $$

となる。

（1） より

$$ \left|\cos\left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}+\frac{\pi}{3}\right)\right| \leqq \frac{1}{1000} =\sin\alpha $$

である。

一方、$0\leqq \theta_1,\theta_2\leqq \dfrac{\pi}{3}$ だから

$$ \frac{\pi}{3}\leqq \frac{\theta_1+\theta_2}{2}+\frac{\pi}{3}\leqq \frac{2\pi}{3} $$

である。また、$\sin\alpha=\dfrac{1}{1000}<\dfrac12=\sin\dfrac{\pi}{6}$ より

$$ 0<\alpha<\frac{\pi}{6} $$

である。したがって、区間 $\left[\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}\right]$ では

$$ |,\cos x,|\leqq \sin\alpha \iff \frac{\pi}{2}-\alpha\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}+\alpha $$

であるから、

$$ \frac{\pi}{2}-\alpha \leqq \frac{\theta_1+\theta_2}{2}+\frac{\pi}{3} \leqq \frac{\pi}{2}+\alpha $$

となる。よって

$$ \frac{\pi}{6}-\alpha \leqq \frac{\theta_1+\theta_2}{2} \leqq \frac{\pi}{6}+\alpha $$

すなわち

$$ \boxed{ \frac{\pi}{3}-2\alpha \leqq \theta_1+\theta_2 \leqq \frac{\pi}{3}+2\alpha } $$

が求める範囲である。

**(3)**

仮定より、時刻 $t_1,t_2,t_3$ においてそれぞれ

$$ d(P_2(t_1),P_3(t_1))\leqq 1,\qquad d(P_3(t_2),P_1(t_2))\leqq 1,\qquad d(P_1(t_3),P_2(t_3))\leqq 1 $$

が成り立つ。

したがって （2） をそれぞれの組に適用して、

$$ \begin{aligned} \left|(\theta_2+\theta_3)-\frac{\pi}{3}\right|&\leqq 2\alpha,\\ \left|(\theta_3+\theta_1)-\frac{\pi}{3}\right|&\leqq 2\alpha,\\ \left|(\theta_1+\theta_2)-\frac{\pi}{3}\right|&\leqq 2\alpha \end{aligned} $$

を得る。

ここで

$$ \varepsilon_{12}=(\theta_1+\theta_2)-\frac{\pi}{3},\quad \varepsilon_{23}=(\theta_2+\theta_3)-\frac{\pi}{3},\quad \varepsilon_{31}=(\theta_3+\theta_1)-\frac{\pi}{3} $$

とおくと、$|\varepsilon_{12}|,|\varepsilon_{23}|,|\varepsilon_{31}|\leqq 2\alpha$ であり、

$$ 2\theta_1 =(\theta_1+\theta_2)+(\theta_3+\theta_1)-(\theta_2+\theta_3) =\frac{\pi}{3}+\varepsilon_{12}+\varepsilon_{31}-\varepsilon_{23} $$

だから

$$ \left|2\theta_1-\frac{\pi}{3}\right| \leqq 2\alpha+2\alpha+2\alpha=6\alpha $$

すなわち

$$ \left|\theta_1-\frac{\pi}{6}\right|\leqq 3\alpha $$

となる。同様にして

$$ \left|\theta_2-\frac{\pi}{6}\right|\leqq 3\alpha,\qquad \left|\theta_3-\frac{\pi}{6}\right|\leqq 3\alpha $$

を得る。

さて、正三角形の中心 $O$ は各頂点の角の二等分線上にあるから、$\overrightarrow{A_nO}$ は辺 $A_nA_{n+1}$ となす角がちょうど $\dfrac{\pi}{6}$ である。よって、$\vec e_n$ と $\overrightarrow{A_nO}$ のなす角を $\delta_n$ とすると

$$ 0\leqq \delta_n\leqq 3\alpha \qquad (n=1,2,3) $$

である。

また、正三角形の外接円半径は

$$ |A_nO|=\frac{1000}{\sqrt3}=T $$

であり、時刻 $T$ には

$$ |A_nP_n(T)|=T $$

である。したがって三角形 $A_nOP_n(T)$ は二辺がともに $T$ の二等辺三角形で、頂角が $\delta_n$ だから

$$ d(P_n(T),O)=2T\sin\frac{\delta_n}{2} \leqq T\delta_n \leqq 3T\alpha $$

となる。

ここで $\sin\alpha=\dfrac1{1000}$ である。さらに、$0<\dfrac{\sqrt3}{1000}<\dfrac{\pi}{2}$ に対して

$$ \sin\frac{\sqrt3}{1000}

>

\frac{2}{\pi}\cdot \frac{\sqrt3}{1000}

>

\frac{1}{1000} =\sin\alpha $$

であるから、$\sin x$ の単調増加性より

$$ \alpha<\frac{\sqrt3}{1000} $$

を得る。よって

$$ d(P_n(T),O)\leqq 3T\alpha < 3\cdot \frac{1000}{\sqrt3}\cdot \frac{\sqrt3}{1000} =3 $$

となる。したがって

$$ d(P_1(T),O)\leqq 3,\qquad d(P_2(T),O)\leqq 3,\qquad d(P_3(T),O)\leqq 3 $$

が同時に成り立つ。

解説

この問題の本質は、「2点がある時刻に距離 $1$ 以内になる」という条件を、そのまま時刻 $t$ の式で追うのではなく、ベクトル $\vec e_i-\vec e_j$ の張る直線と辺ベクトル $\vec a_k$ との距離条件に読み替える点にある。

（1） ではその距離が $1000|\sin\theta|$ になるので、$\vec e_i-\vec e_j$ は辺ベクトルとほぼ平行でなければならないことが分かる。 （2） では、単位ベクトルの差 $\vec e_1-\vec e_2$ の向きが、2つの偏角の平均で表せることを使うと、$\theta_1+\theta_2$ が $\dfrac{\pi}{3}$ に近いことが分かる。 （3） では3組すべてに同じ議論を適用し、各 $\theta_n$ が $\dfrac{\pi}{6}$、すなわち角の二等分線の方向に近いことを導く。すると、中心 $O$ に向かう方向と各運動方向がほぼ一致するため、時刻 $T=\dfrac{1000}{\sqrt3}$ で3点がすべて $O$ の近くに来る。

答え

**(1)**

$$ |\sin\theta|\leqq \frac{1}{1000} $$

**(2)**

$$ \boxed{ \frac{\pi}{3}-2\alpha \leqq \theta_1+\theta_2 \leqq \frac{\pi}{3}+2\alpha } $$

**(3)**

$$ T=\frac{1000}{\sqrt3} $$

のとき、同時に

$$ d(P_1(T),O)\leqq 3,\qquad d(P_2(T),O)\leqq 3,\qquad d(P_3(T),O)\leqq 3 $$

が成り立つ。