解説

方針・初手

$\sin x+\sin 3x$ を和積公式でまとめると，全体を因数分解できる。すると不等式は各因子の符号判定に帰着する。

解法1

和積公式より，

$$ \sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x $$

である。したがって，

$$ \sin x+\sin 2x+\sin 3x =(\sin x+\sin 3x)+\sin 2x =2\sin 2x\cos x+\sin 2x =\sin 2x(2\cos x+1) $$

さらに $\sin 2x=2\sin x\cos x$ であるから，

$$ \sin x+\sin 2x+\sin 3x =2\sin x\cos x(2\cos x+1) $$

ここで $0^\circ<x<180^\circ$ なので，

$$ \sin x>0 $$

が常に成り立つ。よって，もとの不等式

$$ \sin x+\sin 2x+\sin 3x>0 $$

は

$$ \cos x(2\cos x+1)>0 $$

と同値である。

そこで各因子の符号を調べる。

$\cos x$ は

• $0^\circ<x<90^\circ$ で正
• $90^\circ<x<180^\circ$ で負

である。

また，

$$ 2\cos x+1=0 \iff \cos x=-\frac12 \iff x=120^\circ $$

より，$2\cos x+1$ は

• $0^\circ<x<120^\circ$ で正
• $120^\circ<x<180^\circ$ で負

である。

したがって積 $\cos x(2\cos x+1)$ が正になるのは，2つの因子が同符号のときであるから，

**(i)**

$0^\circ<x<90^\circ$

**(ii)**

$120^\circ<x<180^\circ$

である。

解説

この問題の要点は，3つの正弦の和をそのまま扱わず，和積公式でまとめて因数分解することである。すると，区間 $0^\circ<x<180^\circ$ では $\sin x>0$ が使えるため，結局は $\cos x$ と $2\cos x+1$ の符号だけを見ればよい。

不等式では，$x=90^\circ,\ 120^\circ$ のように因子が $0$ になる境界値を落とさないことが重要である。

答え

$$ 0^\circ<x<90^\circ,\quad 120^\circ<x<180^\circ $$