解説

方針・初手

（1） は $\cos A=\cos B$ となる条件を使えば角 $\alpha$ を直接決められる。

（2） は $3\theta=2\theta+\theta$ と見て、加法定理

$$ \cos(2\theta+\theta)=\cos2\theta\cos\theta-\sin2\theta\sin\theta $$

から出発するのが自然である。

（3） は $x=\cos\alpha$ とおき、(1) の条件 $\cos2\alpha=\cos3\alpha$ に (2) の結果を代入して方程式を作ればよい。

解法1

**(1)**

$\cos A=\cos B$ ならば

$$ A=360^\circ n\pm B \qquad (n\in\mathbb{Z}) $$

である。これを $A=2\alpha,\ B=3\alpha$ に適用する。

まず

$$ 2\alpha=360^\circ n+3\alpha $$

なら

$$ \alpha=-360^\circ n $$

となるが、$0^\circ<\alpha<90^\circ$ に反するので不適である。

次に

$$ 2\alpha=360^\circ n-3\alpha $$

なら

$$ 5\alpha=360^\circ n $$

となるから、

$$ \alpha=72^\circ n $$

である。ここで $0^\circ<\alpha<90^\circ$ より、成り立つのは $n=1$ のときだけである。

したがって

$$ \alpha=72^\circ $$

である。

**(2)**

加法定理より

$$ \cos3\theta=\cos(2\theta+\theta)=\cos2\theta\cos\theta-\sin2\theta\sin\theta $$

である。ここで 2 倍角の公式

$$ \cos2\theta=2\cos^2\theta-1,\qquad \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta $$

を代入すると、

$$ \begin{aligned} \cos3\theta &=(2\cos^2\theta-1)\cos\theta-(2\sin\theta\cos\theta)\sin\theta \\ &=2\cos^3\theta-\cos\theta-2\sin^2\theta\cos\theta \end{aligned} $$

となる。さらに $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ を用いれば、

$$ \begin{aligned} \cos3\theta &=2\cos^3\theta-\cos\theta-2(1-\cos^2\theta)\cos\theta \\ &=2\cos^3\theta-\cos\theta-2\cos\theta+2\cos^3\theta \\ &=4\cos^3\theta-3\cos\theta \end{aligned} $$

となる。よって

$$ \cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta $$

が示された。

**(3)**

$x=\cos\alpha$ とおく。(1) の条件 $\cos2\alpha=\cos3\alpha$ に対して、

$$ \cos2\alpha=2x^2-1,\qquad \cos3\alpha=4x^3-3x $$

であるから、

$$ 2x^2-1=4x^3-3x $$

すなわち

$$ 4x^3-2x^2-3x+1=0 $$

を得る。これを因数分解すると

$$ (x-1)(4x^2+2x-1)=0 $$

である。

ここで $0^\circ<\alpha<90^\circ$ より

$$ 0<\cos\alpha<1 $$

だから $x=1$ は不適である。したがって

$$ 4x^2+2x-1=0 $$

より

$$ x=\frac{-2\pm\sqrt{4+16}}{8} =\frac{-2\pm2\sqrt5}{8} =\frac{-1\pm\sqrt5}{4} $$

となる。このうち正の値をとるものを選べば

$$ x=\frac{\sqrt5-1}{4} $$

である。ゆえに

$$ \cos\alpha=\frac{\sqrt5-1}{4} $$

である。

解説

この問題の中心は、**角の条件を先に決めること**と、**三重角公式を自力で導くこと**の 2 点である。

（1） では $\cos A=\cos B$ の解き方を正しく使えるかが重要である。$\cos$ は偶関数であり周期が $360^\circ$ なので、単に $A=B$ だけでは不十分で、$A=-B+360^\circ n$ の形も必ず考える必要がある。

（2） では三重角公式を暗記で済ませず、$\cos(2\theta+\theta)$ に分けて加法定理と 2 倍角公式を順に使えば自然に導ける。

（3） は (2) を使う典型例である。$\alpha=72^\circ$ と出して終わるのでなく、$\cos\alpha$ を未知数 $x$ として方程式に落とし込むと、きれいに 2 次方程式まで整理できる。

答え

**(1)**

$$ \alpha=72^\circ $$

**(2)**

$$ \cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta $$

**(3)**

$$ \cos\alpha=\frac{\sqrt5-1}{4} $$