解説

方針・初手

放物線 $y=x^2$ の点 $A(a,a^2)$ における接線 $l$ をまず求める。 円が点 $A$ で直線 $l$ に接するので，その中心は $A$ を通る $l$ の法線上にある。また，$x$ 軸または $y$ 軸に接するという条件は，「中心の $y$ 座標または $x$ 座標が半径に等しい」という条件に言い換えられる。

これにより，$C_1,C_2$ の半径と接点の座標を順に求めればよい。

解法1

接線 $l$ の傾きは $2a$ であるから，

$$ l:\ y=2ax-a^2 $$

である。よって，$x$ 軸，$y$ 軸との交点はそれぞれ

$$ R_1\left(\frac a2,0\right),\qquad R_2(0,-a^2) $$

である。

以後，

$$ S=\sqrt{4a^2+1} $$

とおく。

$C_1$ について

$C_1$ の半径を $r_1=P_1Q_1$ とする。 直線 $l$ の法線方向ベクトルとして $(2a,-1)$ がとれるので，$P_1$ は

$$ P_1=\left(a,a^2\right)+\frac{r_1}{S}(2a,-1) $$

と表せる。

一方，$C_1$ は $x$ 軸に接するから，中心 $P_1$ の $y$ 座標は半径 $r_1$ に等しい。したがって

$$ a^2-\frac{r_1}{S}=r_1 $$

より，

$$ r_1=\frac{a^2S}{S+1} =\frac{S(S-1)}{4} $$

を得る。

また，$P_1$ の $x$ 座標は

$$ a+\frac{2ar_1}{S} =a+\frac{a(S-1)}{2} =\frac{a(S+1)}{2} $$

であるから，

$$ Q_1\left(\frac{a(S+1)}{2},0\right) $$

となる。よって

$$ Q_1R_1=\frac{a(S+1)}{2}-\frac a2=\frac{aS}{2} $$

である。

$C_2$ について

$C_2$ の半径を $r_2=P_2Q_2$ とする。 このとき中心は $A$ から見て左上側の法線上にあるので，

$$ P_2=\left(a,a^2\right)+\frac{r_2}{S}(-2a,1) $$

と表せる。

$C_2$ は $y$ 軸に接するから，中心 $P_2$ の $x$ 座標は半径 $r_2$ に等しい。したがって

$$ a-\frac{2ar_2}{S}=r_2 $$

より，

$$ r_2=\frac{aS}{S+2a} $$

を得る。

また，$P_2$ の $y$ 座標は

$$ a^2+\frac{r_2}{S} =a^2+\frac{a}{S+2a} =a^2+a(S-2a) =aS-a^2 $$

であるから，

$$ Q_2=(0,aS-a^2) $$

となる。したがって

$$ Q_2R_2=(aS-a^2)-(-a^2)=aS $$

である。

（1） $Q_2R_2=2Q_1R_1$ を示す

上で求めた式より，

$$ Q_2R_2=aS,\qquad Q_1R_1=\frac{aS}{2} $$

であるから，

$$ Q_2R_2=2Q_1R_1 $$

が成り立つ。

（2） $P_1Q_1=P_2Q_2$ のときの $\tan\theta$ を求める

三角形 $P_1R_1Q_1$ は $Q_1$ で直角であり，

$$ \tan\theta=\frac{P_1Q_1}{Q_1R_1} =\frac{r_1}{aS/2} =\frac{S-1}{2a} $$

である。これを

$$ t=\tan\theta $$

とおく。

すると

$$ t=\frac{S-1}{2a} $$

であり，$S^2-4a^2=1$ を用いると

$$ t=\frac{2a}{S+1} $$

とも書ける。したがって

$$ 2a=t(S+1),\qquad S-1=t^2(S+1) $$

が成り立つ。

いま条件 $P_1Q_1=P_2Q_2$ は $r_1=r_2$ を意味するから，

$$ \frac{S(S-1)}{4}=\frac{aS}{S+2a} $$

すなわち

$$ (S-1)(S+2a)=4a $$

である。

ここで $2a=t(S+1)$，$S-1=t^2(S+1)$ を代入すると，

$$ t^2(S+1){S+t(S+1)}=2t(S+1) $$

となる。$t>0,\ S+1>0$ だからこれを整理して

$$ t{S+t(S+1)}=2 $$

を得る。

また $S-1=t^2(S+1)$ から

$$ S=\frac{1+t^2}{1-t^2} $$

であるから，これを代入すると

$$ t\left(\frac{1+t^2}{1-t^2}+t\cdot\frac{2}{1-t^2}\right)=2 $$

すなわち

$$ \frac{t(1+t)^2}{1-t^2}=2 $$

となる。さらに整理して

$$ t(1+t)=2(1-t) $$

よって

$$ t^2+3t-2=0 $$

を得る。$t>0$ なので

$$ t=\frac{-3+\sqrt{17}}{2} $$

である。したがって

$$ \tan\theta=\frac{\sqrt{17}-3}{2} $$

となる。

（3） $P_1Q_1=P_2Q_2$ となるような $a$ の値を求める

上で得た

$$ t=\tan\theta=\frac{\sqrt{17}-3}{2} $$

と

$$ t=\frac{2a}{S+1},\qquad S=\sqrt{4a^2+1} $$

の関係から

$$ a=\frac{t}{1-t^2} $$

が成り立つ。よって

$$ a=\frac{\frac{\sqrt{17}-3}{2}}{1-\left(\frac{\sqrt{17}-3}{2}\right)^2} $$

である。これを整理すると

$$ a=\frac{\sqrt{17}-3}{3\sqrt{17}-11} =\frac{\sqrt{17}+9}{16} $$

となる。

解説

この問題の要点は，「円が直線 $l$ に点 $A$ で接する」という条件を，中心が $A$ を通る法線上にあるという条件に置き換えることである。さらに，$x$ 軸や $y$ 軸に接する円では，中心の座標の一方がそのまま半径になる。ここまで落とし込めば，あとは座標計算で一貫して処理できる。

特に （2） では，いきなり $a$ を求めにいくよりも，まず

$$ \tan\theta=\frac{P_1Q_1}{Q_1R_1} $$

を使って $\tan\theta$ を媒介変数として処理すると整理しやすい。

答え

**(1)**

$$ Q_2R_2=2Q_1R_1 $$

**(2)**

$$ \tan\theta=\frac{\sqrt{17}-3}{2} $$

**(3)**

$$ a=\frac{\sqrt{17}+9}{16} $$