解説

方針・初手

円 $C$ は

$$ x^2+y^2=1 $$

である。半径 $1$ の円において、接点の極角が $\varphi$ のとき接線は

$$ x\cos\varphi+y\sin\varphi=1 $$

と書ける。したがって、まず $P$ と $R$ の極角を求めれば、接線 $l,m$、さらに $S,T,Q$ の座標が順に決まる。

解法1

**(1)**

$\angle SOP=\theta$ であり、$OS$ は $x$ 軸の正の向きだから、$OP$ の偏角は $\theta$ である。よって

$$ P=(\cos\theta,\sin\theta) $$

である。

接点 $(\cos\theta,\sin\theta)$ における接線 $l$ は

$$ x\cos\theta+y\sin\theta=1 $$

である。

$x$ 軸との交点を $S$ とすると、$y=0$ を代入して

$$ x\cos\theta=1 $$

より

$$ S=(\sec\theta,0) $$

である。

---

**(2)**

$QP,QR$ はともに円 $C$ の接線であるから、四角形 $OPRQ$ において

$$ \angle OPQ=\angle ORQ=\frac{\pi}{2} $$

である。したがって

$$ \angle POR+\angle PQR=\pi $$

となるので、

$$ \angle POR=\pi-\alpha $$

である。

$OP$ の偏角が $\theta$ だから、$OR$ の偏角は

$$ \theta+(\pi-\alpha)=\theta+\pi-\alpha $$

である。よって

$$ R=\left(\cos(\theta+\pi-\alpha),\sin(\theta+\pi-\alpha)\right) =\left(-\cos(\theta-\alpha),\sin(\alpha-\theta)\right) $$

である。

この点 $R$ における接線 $m$ は

$$ x\cos(\theta+\pi-\alpha)+y\sin(\theta+\pi-\alpha)=1 $$

すなわち

$$ x\cos(\theta-\alpha)+y\sin(\theta-\alpha)=-1 $$

である。

$x$ 軸との交点を $T$ とすると、$y=0$ を代入して

$$ x\cos(\theta-\alpha)=-1 $$

より

$$ T=\left(-\sec(\theta-\alpha),0\right) $$

である。

---

**(3)**

(2)より

$$ R=\left(-\cos(\theta-\alpha),\sin(\alpha-\theta)\right) $$

である。

ここで $0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$、また $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ なので $|\theta-\alpha|<\dfrac{\pi}{2}$ であり、

$$ \cos(\theta-\alpha)>0 $$

したがって $x_R=-\cos(\theta-\alpha)<0$ は常に成り立つ。

よって $R$ が第2象限にあるための条件は $y_R>0$、すなわち

$$ \sin(\alpha-\theta)>0 $$

である。ここでは $\alpha-\theta\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ だから、これは

$$ \alpha-\theta>0 $$

に同値である。ゆえに

$$ 0<\theta<\alpha $$

である。

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**(4)**

点 $Q$ は $l,m$ の交点であるから、

$$ \begin{cases} x\cos\theta+y\sin\theta=1\\ x\cos(\theta-\alpha)+y\sin(\theta-\alpha)=-1 \end{cases} $$

を解けばよい。

これを解くと

$$ Q=\left( -\frac{\sin\left(\theta-\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\frac{\alpha}{2}}, \frac{\cos\left(\theta-\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\frac{\alpha}{2}} \right) $$

となる。

したがって

$$ \begin{aligned} OQ^2 &= \frac{\sin^2\left(\theta-\frac{\alpha}{2}\right)+\cos^2\left(\theta-\frac{\alpha}{2}\right)} {\sin^2\frac{\alpha}{2}} &= \frac{1}{\sin^2\frac{\alpha}{2}} \end{aligned} $$

より

$$ OQ=\csc\frac{\alpha}{2} $$

である。これは $\theta$ を含まないので、$OQ$ は $\theta$ によらない。

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**(5)**

$S,T$ はともに $x$ 軸上にあるから、$\triangle SQT$ の高さは $Q$ の $y$ 座標であり、

$$ y_Q=\frac{\cos\left(\theta-\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\frac{\alpha}{2}} $$

である。

また

$$ x_S=\sec\theta,\qquad x_T=-\sec(\theta-\alpha) $$

だから、底辺 $ST$ の長さは

$$ ST=\sec\theta+\sec(\theta-\alpha) $$

である。

よって面積 $A$ は

$$ A= \frac12\left(\sec\theta+\sec(\theta-\alpha)\right) \frac{\cos\left(\theta-\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\frac{\alpha}{2}} $$

となる。

これを整理すると、

$$ \begin{aligned} \sec\theta+\sec(\theta-\alpha) &= \frac{\cos(\alpha-\theta)+\cos\theta}{\cos\theta\cos(\alpha-\theta)} \end{aligned} $$

であり、

$$ \begin{aligned} \cos(\alpha-\theta)+\cos\theta &= 2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\left(\theta-\frac{\alpha}{2}\right) \end{aligned} $$

だから

$$ A= \frac{\cos^2\left(\theta-\frac{\alpha}{2}\right)} {\sin\frac{\alpha}{2}\cos\theta\cos(\alpha-\theta)} $$

とも書ける。

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**(6)**

(3)より、ここでは

$$ 0<\theta<\alpha $$

である。

そこで

$$ u=\frac{\alpha}{2},\qquad x=\theta-\frac{\alpha}{2} $$

とおくと、

$$ -u<x<u $$

である。また (5) の式は

$$ A= \frac{\cos^2 x}{\sin u\,\cos(x+u)\cos(u-x)} $$

であり、

$$ \cos(x+u)\cos(u-x)=\cos^2u-\sin^2x $$

だから

$$ A= \frac{\cot u\,\cos^2x}{\cos^2u-\sin^2x} $$

となる。

ここで

$$ \begin{aligned} A-\frac{1}{\sin u\cos u} &= \frac{\tan u\,\sin^2x}{\cos^2u-\sin^2x} \end{aligned} $$

である。

$0<u<\dfrac{\pi}{4}$ かつ $|x|<u$ より

$$ \cos^2u-\sin^2x>0 $$

だから右辺は $0$ 以上である。したがって

$$ A\ge \frac{1}{\sin u\cos u} =\frac{2}{\sin\alpha} $$

である。

等号成立は $\sin x=0$、すなわち

$$ x=0 $$

のときである。よって

$$ \theta-\frac{\alpha}{2}=0 $$

すなわち

$$ \theta=\frac{\alpha}{2} $$

のとき、$A$ は最小となる。

したがって最小値は

$$ A_{\min}=\frac{2}{\sin\alpha} $$

である。

解説

この問題の核は、接点の極角 $\varphi$ に対して接線が

$$ x\cos\varphi+y\sin\varphi=1 $$

と書けること、および2本の接線のなす角と対応する中心角が

$$ \angle POR=\pi-\angle PQR $$

で結ばれることである。

(4) では $Q$ を $l,m$ の交点として連立してしまうのが最も確実である。(5) は $S,T$ がともに $x$ 軸上にあるので、底辺 $ST$ と高さ $y_Q$ で処理するのが自然である。(6) は $\theta-\dfrac{\alpha}{2}$ を新しい変数に置くと対称性が見え、最小条件が $\theta=\dfrac{\alpha}{2}$ に落ちる。

答え

**(1)**

$$ P=(\cos\theta,\sin\theta) $$

$$ l:\ x\cos\theta+y\sin\theta=1 $$

$$ S=(\sec\theta,0) $$

**(2)**

$$ R=\left(-\cos(\theta-\alpha),\sin(\alpha-\theta)\right) $$

$$ T=\left(-\sec(\theta-\alpha),0\right) $$

**(3)**

$$ 0<\theta<\alpha $$

**(4)**

$$ OQ=\csc\frac{\alpha}{2} $$

**(5)**

$$ A= \frac12\left(\sec\theta+\sec(\theta-\alpha)\right) \frac{\cos\left(\theta-\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\frac{\alpha}{2}} $$

または

$$ A= \frac{\cos^2\left(\theta-\frac{\alpha}{2}\right)} {\sin\frac{\alpha}{2}\cos\theta\cos(\alpha-\theta)} $$

**(6)**

$$ A_{\min}=\frac{2}{\sin\alpha} $$

そのとき

$$ \theta=\frac{\alpha}{2} $$