解説

方針・初手

点 $P(x,0)$ における角 $\angle APB$ は、直線 $PA,PB$ のなす角である。

したがって、直線 $PA,PB$ の傾きを求め、2直線のなす角の公式

$$ \tan \theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right| $$

を用いて、$\theta=\angle APB \ge 30^\circ$ となる条件を不等式で処理するのが自然である。

解法1

$A(0,1),B(0,11),P(x,0)$ であり、$x>0$ とする。

まず、直線 $PA,PB$ の傾きを求めると

$$ m_{PA}=\frac{1-0}{0-x}=-\frac{1}{x},\qquad m_{PB}=\frac{11-0}{0-x}=-\frac{11}{x} $$

である。

ここで $\theta=\angle APB$ とすると、2直線のなす角の公式より

$$ \begin{aligned} \tan\theta &= \left| \frac{m_{PB}-m_{PA}}{1+m_{PA}m_{PB}} \right| &= \left| \frac{-\frac{11}{x}+\frac{1}{x}}{1+\frac{11}{x^2}} \right| &= \frac{10/x}{1+11/x^2} \\ \frac{10x}{x^2+11} \end{aligned} $$

となる。

$x>0$ なので、$\theta$ は鋭角であり、$0^\circ<\theta<90^\circ$ である。したがって、$\theta\ge 30^\circ$ は

$$ \tan\theta\ge \tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

と同値である。

よって

$$ \frac{10x}{x^2+11}\ge \frac{1}{\sqrt{3}} $$

すなわち

$$ 10\sqrt{3},x\ge x^2+11 $$

であり、整理すると

$$ x^2-10\sqrt{3},x+11\le 0 $$

を得る。

この2次不等式の解を求めると、方程式

$$ x^2-10\sqrt{3},x+11=0 $$

の解は

$$ x=\frac{10\sqrt{3}\pm\sqrt{(10\sqrt{3})^2-44}}{2} =\frac{10\sqrt{3}\pm\sqrt{256}}{2} =\frac{10\sqrt{3}\pm 16}{2} =5\sqrt{3}\pm 8 $$

である。

したがって

$$ 5\sqrt{3}-8\le x\le 5\sqrt{3}+8 $$

となる。

解説

この問題では、$\angle APB$ を直接扱うよりも、2直線の傾きから $\tan\angle APB$ を表すのが最短である。

また、$x>0$ のとき $P$ は $y$ 軸の右側にあり、$A,B$ はともに $y$ 軸上にあるので、$\angle APB$ は鋭角になる。このため、$\theta\ge 30^\circ$ を $\tan\theta\ge \tan30^\circ$ としてよい点が重要である。

答え

$$ 5\sqrt{3}-8\le x\le 5\sqrt{3}+8 $$

である。