解説

方針・初手

$\angle APB$ は点 $P$ における 2 ベクトル $\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB}$ のなす角である。 したがって、内積と外積を用いて $\tan \angle APB$ を $x$ の式で表し、その最大値を調べるのが自然である。

まず、この角が常に鋭角であることを確かめておけば、$\tan \angle APB$ を最大にすることと $\angle APB$ 自身を最大にすることが同値になる。

解法1

点 $A(0,1),B(0,2),P(x,x)$ より、

$$ \overrightarrow{PA}=(-x,1-x),\qquad \overrightarrow{PB}=(-x,2-x) $$

である。

まず内積を求めると、

$$ \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} = (-x)(-x)+(1-x)(2-x) = x^2+(2-3x+x^2) =2x^2-3x+2 $$

となる。

ここで

$$ 2x^2-3x+2 $$

の判別式は

$$ (-3)^2-4\cdot 2\cdot 2=9-16=-7<0 $$

であり、しかも $x^2$ の係数は正であるから、

$$ 2x^2-3x+2>0 \qquad (x>0) $$

である。 したがって $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}>0$ であり、$\angle APB$ は常に鋭角である。

次に、2 次元ベクトルの外積の大きさを求めると、

$$ |\overrightarrow{PA}\times \overrightarrow{PB}| = \left|(-x)(2-x)-(1-x)(-x)\right| =| -2x+x^2+x-x^2 | = x $$

となる。よって、

$$ \begin{aligned} \tan \angle APB &= \frac{|\overrightarrow{PA}\times \overrightarrow{PB}|}{\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}} \\ \frac{x}{2x^2-3x+2} \end{aligned} $$

である。

$\angle APB$ は鋭角なので、$\angle APB$ を最大にすることは $\tan \angle APB$ を最大にすることと同値である。 そこで

$$ f(x)=\frac{x}{2x^2-3x+2}\qquad (x>0) $$

とおくと、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{(2x^2-3x+2)-x(4x-3)}{(2x^2-3x+2)^2} \\ \frac{2-2x^2}{(2x^2-3x+2)^2} \\ \frac{2(1-x^2)}{(2x^2-3x+2)^2} \end{aligned} $$

である。

分母は常に正であるから、符号は $1-x^2$ で決まる。よって、

• $0<x<1$ のとき $f'(x)>0$
• $x>1$ のとき $f'(x)<0$

となる。

したがって、$f(x)$ は $x=1$ で最大となる。

このとき、

$$ \begin{aligned} \tan \angle APB &= \frac{1}{2-3+2} \\ 1 \end{aligned} $$

より、

$$ \angle APB=\frac{\pi}{4} $$

である。

解説

この問題の本質は、角そのものを直接扱うよりも、内積と外積を使って $\tan$ に直すことである。

特に、先に内積が常に正であることを示して「常に鋭角」と確定しておくのが重要である。これにより、$\tan \theta$ の最大化だけを考えればよくなり、単なる関数の最大値問題に帰着する。

また、外積の大きさがきれいに $x$ になるため、計算も比較的素直に進む。

答え

$\angle APB$ の最大値は

$$ \frac{\pi}{4} $$

であり、そのとき

$$ x=1 $$

である。