解説

方針・初手

与えられた条件 $OP^2=OB\cdot PB$ から、まず $OP$ を $OB$ で表す。

一方、正十角形の隣り合う頂点間の長さ $AB$ は、中心角が $36^\circ$ であることから $OB$ を用いて表せる。両者を比較すればよい。

解法1

$OB=R,\ OP=x$ とおく。

点 $P$ は線分 $OB$ 上にあるから

$$ PB=R-x $$

である。したがって条件 $OP^2=OB\cdot PB$ は

$$ x^2=R(R-x) $$

となる。これを整理すると

$$ x^2+Rx-R^2=0 $$

であるから、$t=\dfrac{x}{R}$ とおけば

$$ t^2+t-1=0 $$

を得る。$x>0$ より $t>0$ であるから

$$ t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} $$

すなわち

$$ OP=x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}R $$

である。

次に $AB$ を求める。

正十角形の隣り合う頂点 $A,B$ に対して、中心角 $\angle AOB$ は

$$ \frac{360^\circ}{10}=36^\circ $$

である。よって二等辺三角形 $AOB$ において、$AB$ は中心角 $36^\circ$ に対する弦であるから

$$ AB=2R\sin 18^\circ $$

となる。

そこで

$$ u=2\sin 18^\circ $$

とおく。$18^\circ<30^\circ$ であるから $0<u<1$ である。

ここで

$$ \sin 54^\circ=\cos 36^\circ $$

を用いる。まず三倍角の公式より

$$ \sin 54^\circ=\sin (3\cdot 18^\circ)=3\sin 18^\circ-4\sin^3 18^\circ $$

また、二倍角の公式より

$$ \cos 36^\circ=1-2\sin^2 18^\circ $$

である。したがって

$$ 3\sin 18^\circ-4\sin^3 18^\circ=1-2\sin^2 18^\circ $$

となる。

ここで $\sin 18^\circ=\dfrac{u}{2}$ を代入すると

$$ 3\cdot \frac{u}{2}-4\left(\frac{u}{2}\right)^3 =1-2\left(\frac{u}{2}\right)^2 $$

すなわち

$$ u^3-u^2-3u+2=0 $$

を得る。これを因数分解すると

$$ (u-2)(u^2+u-1)=0 $$

である。$0<u<1$ より $u\neq 2$ だから

$$ u^2+u-1=0 $$

となり、$u>0$ より

$$ u=\frac{\sqrt{5}-1}{2} $$

である。

したがって

$$ AB=uR=\frac{\sqrt{5}-1}{2}R $$

となる。

先に求めた

$$ OP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}R $$

と一致するので

$$ OP=AB $$

が成り立つ。

解説

この問題の本質は、$OP$ も $AB$ もともに $OB$ の定数倍として表せることである。

$OP$ については条件式から直接二次方程式が得られる。$AB$ については、正十角形の一辺が半径 $R$ に対して $2R\sin 18^\circ$ と書けるので、結局 $2\sin 18^\circ$ の値を求める問題に帰着する。

したがって、「まず比 $\dfrac{OP}{OB}$ を求め、次に比 $\dfrac{AB}{OB}$ を求めて比較する」という流れが自然である。

答え

$$ OP=AB $$

である。