解説

方針・初手

外接円の半径が $1$ であるから、正弦定理の拡張形

$$ \text{辺の長さ}=2\sin(\text{その対角}) $$

を用いるのが自然である。

長さ $\sqrt{3}$ の辺に対する角をまず決めると、残り2角の和が分かるので、$a=2\sin\alpha$ とおいて $b$ を求められる。

解法1

辺の長さ $\sqrt{3},a,b$ にそれぞれ対する角を $A,B,C$ とする。

外接円の半径が $1$ であるから、拡張正弦定理より

$$ \sqrt{3}=2\sin A,\qquad a=2\sin B,\qquad b=2\sin C $$

である。

ここで三角形は鋭角三角形なので、$A,B,C$ はすべて $0<\text{角}<\dfrac{\pi}{2}$ を満たす。

まず

$$ \sqrt{3}=2\sin A $$

より

$$ \sin A=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

である。

$A$ は鋭角であるから

$$ A=\frac{\pi}{3} $$

となる。

したがって

$$ B+C=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3} $$

である。

次に

$$ a=2\sin B $$

より

$$ \sin B=\frac{a}{2} $$

である。$B$ は鋭角なので

$$ \cos B=\sqrt{1-\sin^2 B}=\sqrt{1-\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{4-a^2}}{2} $$

となる。

よって

$$ b=2\sin C=2\sin\left(\frac{2\pi}{3}-B\right) $$

であり、加法定理より

$$ \begin{aligned} b &=2\left(\sin\frac{2\pi}{3}\cos B-\cos\frac{2\pi}{3}\sin B\right)\\ &=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B+\frac{1}{2}\sin B\right)\\ &=\sqrt{3}\cos B+\sin B. \end{aligned} $$

ここに

$$ \sin B=\frac{a}{2},\qquad \cos B=\frac{\sqrt{4-a^2}}{2} $$

を代入すると

$$ b=\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{4-a^2}}{2}+\frac{a}{2}. $$

したがって

$$ b=\frac{a+\sqrt{3}\sqrt{4-a^2}}{2} $$

である。

解説

外接円の半径が与えられた三角形では、辺の長さを $2R\sin\theta$ の形で表すのが基本である。この問題では $R=1$ なので特に扱いやすい。

また、$\sqrt{3}=2\sin A$ から $A=\dfrac{\pi}{3}$ を出すと、残り2角の和が $\dfrac{2\pi}{3}$ と固定される。そこから三角関数の加法定理で $b$ を処理するのが最も素直である。

鋭角三角形という条件があるため、$\cos B>0$ として平方根を正に取れる点も重要である。

答え

$$ b=\frac{a+\sqrt{3}\sqrt{4-a^2}}{2} $$