解説

方針・初手

まず条件

$$ \cos x-\cos 2x\geqq 0 $$

を $\cos x$ だけの不等式に直して、$x$ の動ける範囲を求める。

そのうえで

$$ \sin x+\sqrt{3}\cos x $$

を合成して、求めた $x$ の範囲で最大値・最小値を調べる。

解法1

条件式に $\cos 2x=2\cos^2 x-1$ を用いると、

$$ \cos x-(2\cos^2 x-1)\geqq 0 $$

すなわち

$$ -2\cos^2 x+\cos x+1\geqq 0 $$

である。両辺に $-1$ をかけて整理すると、

$$ 2\cos^2 x-\cos x-1\leqq 0 $$

となる。これを因数分解すると、

$$ (2\cos x+1)(\cos x-1)\leqq 0 $$

である。

ここで $\cos x\in[-1,1]$ であるから、上の不等式は

$$ -\frac12\leqq \cos x\leqq 1 $$

と同値である。

したがって、$-\pi\leqq x<\pi$ の範囲では

$$ -\frac{2\pi}{3}\leqq x\leqq \frac{2\pi}{3} $$

となる。

次に、求める式を合成すると、

$$ \sin x+\sqrt{3}\cos x =2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) $$

である。

ここで

$$ -\frac{2\pi}{3}\leqq x\leqq \frac{2\pi}{3} $$

より、

$$ -\frac{\pi}{3}\leqq x+\frac{\pi}{3}\leqq \pi $$

となる。よって $t=x+\dfrac{\pi}{3}$ とおけば、

$$ -\frac{\pi}{3}\leqq t\leqq \pi $$

の範囲で $2\sin t$ の値域を調べればよい。

区間 $-\dfrac{\pi}{3}\leqq t\leqq \pi$ において、$\sin t$ の最大値は

$$ 1 \quad \left(t=\frac{\pi}{2}\right) $$

最小値は

$$ -\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \left(t=-\frac{\pi}{3}\right) $$

である。

したがって、

$$ -\sqrt{3}\leqq 2\sin t\leqq 2 $$

すなわち

$$ -\sqrt{3}\leqq \sin x+\sqrt{3}\cos x\leqq 2 $$

である。

解説

条件 $\cos x-\cos 2x\geqq 0$ は、$\cos 2x$ を $\cos x$ で表すと一気に処理しやすくなる。ここで無理に三角不等式のまま場合分けする必要はない。

また、$\sin x+\sqrt{3}\cos x$ は合成して

$$ 2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) $$

と見るのが典型である。あとは、条件から決まる $x$ の範囲を平行移動した区間で、正弦の最大値・最小値を読むだけである。

答え

$$ -\sqrt{3}\leqq \sin x+\sqrt{3}\cos x\leqq 2 $$

したがって、求める値の範囲は

$$ [-\sqrt{3},2] $$

である。