解説

方針・初手

まず、$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ を用いて $\cos\theta$ を求める。

$\theta$ は第1象限の角であるから、$\cos\theta>0$ に注意する。

その後、加法定理を用いて $\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{2}\right)$、$\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)$ を求める。

解法1

$\sin\theta=\dfrac{1}{3}$ であるから、

$$ \cos^2\theta=1-\sin^2\theta=1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9} $$

よって、

$$ \cos\theta=\pm \dfrac{2\sqrt{2}}{3} $$

となる。

ここで、$\theta$ は第1象限の角であるから $\cos\theta>0$ である。したがって、

$$ \cos\theta=\dfrac{2\sqrt{2}}{3} $$

次に、

$$ \sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{2}\right) =\sin\theta\cos\dfrac{\pi}{2}-\cos\theta\sin\dfrac{\pi}{2} $$

であるから、

$$ \sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{2}\right) =\sin\theta\cdot 0-\cos\theta\cdot 1 =-\cos\theta =-\dfrac{2\sqrt{2}}{3} $$

さらに、加法定理より

$$ \sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right) =\sin\theta\cos\dfrac{\pi}{3}+\cos\theta\sin\dfrac{\pi}{3} $$

である。ここに

$$ \sin\theta=\dfrac{1}{3},\quad \cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2},\quad \cos\theta=\dfrac{2\sqrt{2}}{3},\quad \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $$

を代入すると、

$$ \sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right) =\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} =\dfrac{1}{6}+\dfrac{\sqrt{6}}{3} =\dfrac{1+2\sqrt{6}}{6} $$

解説

この問題の要点は、まず $\sin\theta$ から $\cos\theta$ を求めることである。

ただし、$\cos\theta=\pm\sqrt{1-\sin^2\theta}$ としたとき、符号は象限によって決まる。今回は第1象限なので正である。

その後は加法定理をそのまま使えばよい。特に

$$ \sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{2}\right)=-\cos\theta $$

となる形は頻出である。

答え

$$ \cos\theta=\dfrac{2\sqrt{2}}{3} $$

$$ \sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3} $$

$$ \sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1+2\sqrt{6}}{6} $$

したがって、

**(ウ)**

$\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}$

**(エ)**

$\displaystyle -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

**(オ)**

$\displaystyle \frac{1+2\sqrt{6}}{6}$