解説

方針・初手

（1） は三倍角の公式

$$ \sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta $$

をそのまま用いればよい。

（2） は $\sin 3x,\ \cos 2x$ を $\sin x$ で表して整理すると、$\sin x$ についての不等式に帰着できる。区間 $0\leqq x\leqq \pi$ では $\sin x$ の取りうる範囲が $0\leqq \sin x\leqq 1$ であることを使う。

解法1

**(1)**

三倍角の公式より、

$$ \sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta $$

である。ここで $\sin\theta=\dfrac15$ を代入すると、

$$ \sin 3\theta = 3\cdot \frac15 - 4\left(\frac15\right)^3 = \frac35 - \frac{4}{125} = \frac{75}{125} - \frac{4}{125} = \frac{71}{125} $$

したがって、

$$ \sin 3\theta=\frac{71}{125} $$

である。

**(2)**

不等式

$$ -2\sin 3x-\cos 2x+3\sin x+1\leqq 0 $$

を考える。

$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x,\ \cos 2x=1-2\sin^2x$ を用いると、

$$ \begin{aligned} -2\sin 3x-\cos 2x+3\sin x+1 &=-2(3\sin x-4\sin^3x)-(1-2\sin^2x)+3\sin x+1 \\ &=-6\sin x+8\sin^3x-1+2\sin^2x+3\sin x+1 \\ &=8\sin^3x+2\sin^2x-3\sin x \end{aligned} $$

よって不等式は

$$ 8\sin^3x+2\sin^2x-3\sin x\leqq 0 $$

となる。$\sin x$ でくくると、

$$ \sin x(8\sin^2x+2\sin x-3)\leqq 0 $$

さらに

$$ 8\sin^2x+2\sin x-3=(4\sin x+3)(2\sin x-1) $$

より、

$$ \sin x(4\sin x+3)(2\sin x-1)\leqq 0 $$

を得る。

ここで $0\leqq x\leqq \pi$ だから

$$ 0\leqq \sin x\leqq 1 $$

であり、したがって $4\sin x+3>0$ である。よって不等式は

$$ \sin x(2\sin x-1)\leqq 0 $$

と同値である。

さらに $\sin x\geqq 0$ だから、

$$ 0\leqq \sin x\leqq \frac12 $$

となる。

区間 $0\leqq x\leqq \pi$ で $\sin x=\dfrac12$ となるのは

$$ x=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6} $$

であり、$\sin x$ は $[0,\pi]$ で $0$ から $1$ へ増加してから減少するので、

$$ 0\leqq \sin x\leqq \frac12 $$

を満たすのは

$$ 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{6},\qquad \frac{5\pi}{6}\leqq x\leqq \pi $$

である。

解説

（1） は三倍角の公式に直接代入するだけである。$\cos\theta$ を求める必要はない。

（2） は $x$ を直接扱おうとすると複雑に見えるが、$\sin 3x,\ \cos 2x$ を $\sin x$ で表せば三次式に整理できる。さらに $0\leqq x\leqq \pi$ という条件から $\sin x\geqq 0$ が分かるため、符号判定が大幅に簡単になる。この区間条件を使うのが要点である。

答え

**(1)**

$$ \sin 3\theta=\frac{71}{125} $$

**(2)**

$$ 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{6},\qquad \frac{5\pi}{6}\leqq x\leqq \pi $$