解説

方針・初手

補角の関係 $ \tan(90^\circ-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta} $ を使うと、（1） はすぐに処理できる。

（2） では $\alpha=\tan24^\circ$ とおき、まず $\sin24^\circ,\cos24^\circ$ を $\alpha$ で表す。そのうえで $57^\circ=90^\circ-33^\circ$ および $57^\circ-33^\circ=24^\circ$ を用いて、$\tan57^\circ,\tan33^\circ$ の関係式を立てるのが初手である。

解法1

**(1)**

$66^\circ=90^\circ-24^\circ$ であるから、

$$ \tan24^\circ\tan66^\circ =\tan24^\circ\tan(90^\circ-24^\circ) =\tan24^\circ\cdot \frac{1}{\tan24^\circ} =1 $$

したがって、$[\text{ア}]=1$ である。

また、

$$ \tan k^\circ \tan(90^\circ-k^\circ)=1 \qquad (k=1,2,\dots,44) $$

であるから、

$$ \begin{aligned} &\tan1^\circ\tan2^\circ\tan3^\circ\cdots \tan87^\circ\tan88^\circ\tan89^\circ \\ &=(\tan1^\circ\tan89^\circ)(\tan2^\circ\tan88^\circ)\cdots(\tan44^\circ\tan46^\circ)\tan45^\circ \\ &=1\cdot1\cdots1\cdot1=1 \end{aligned} $$

したがって、$[\text{イ}]=1$ である。

**(2)**

$\alpha=\tan24^\circ$ より、

$$ 1+\tan^2 24^\circ=\frac{1}{\cos^2 24^\circ} $$

であるから、

$$ \cos24^\circ=\frac{1}{\sqrt{1+\alpha^2}} $$

また、

$$ \sin24^\circ=\tan24^\circ\cos24^\circ =\alpha\cdot \frac{1}{\sqrt{1+\alpha^2}} =\frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^2}} $$

したがって、

$$ [\text{ウ}]=\frac{1}{\sqrt{1+\alpha^2}}, \qquad [\text{エ}]=\frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^2}} $$

次に、

$$ \tan57^\circ\tan33^\circ =\tan57^\circ\tan(90^\circ-57^\circ) =1 $$

である。

ここで $x=\tan57^\circ,\ y=\tan33^\circ$ とおくと、$xy=1$ であり、さらに

$$ \tan24^\circ=\tan(57^\circ-33^\circ) =\frac{x-y}{1+xy} =\frac{x-y}{2} $$

より、

$$ x-y=2\alpha $$

したがって、

$$ \tan57^\circ-\tan33^\circ=2\alpha $$

であるから、$[\text{オ}]=2\alpha$ である。

さらに $xy=1$ を用いると、

$$ x-\frac{1}{x}=2\alpha $$

すなわち

$$ x^2-2\alpha x-1=0 $$

となるので、

$$ x=\alpha\pm\sqrt{1+\alpha^2} $$

$57^\circ$ は鋭角なので $\tan57^\circ>0$ であり、実際に大きい方をとって

$$ \tan57^\circ=\alpha+\sqrt{1+\alpha^2} $$

また、

$$ \tan33^\circ=\frac{1}{\tan57^\circ} =\frac{1}{\alpha+\sqrt{1+\alpha^2}} =\sqrt{1+\alpha^2}-\alpha $$

したがって、

$$ [\text{カ}]=\alpha+\sqrt{1+\alpha^2}, \qquad [\text{キ}]=\sqrt{1+\alpha^2}-\alpha $$

次に、

$$ \cos57^\circ\cos33^\circ =\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 57^\circ}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 33^\circ}} $$

であり、$y=\dfrac{1}{x}$ を用いると

$$ \cos57^\circ\cos33^\circ =\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}} =\frac{1}{x+\frac{1}{x}} $$

ここで

$$ \left(x+\frac{1}{x}\right)^2 =\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+4 =(2\alpha)^2+4 =4(1+\alpha^2) $$

より、$x+\dfrac{1}{x}>0$ であることに注意して

$$ x+\frac{1}{x}=2\sqrt{1+\alpha^2} $$

したがって、

$$ \cos57^\circ\cos33^\circ=\frac{1}{2\sqrt{1+\alpha^2}} $$

ゆえに、$[\text{ク}]=\dfrac{1}{2\sqrt{1+\alpha^2}}$ である。

さらに、

$$ \begin{aligned} (\cos57^\circ+\cos33^\circ)^2 &=\cos^2 57^\circ+\cos^2 33^\circ+2\cos57^\circ\cos33^\circ \\ &=\cos^2 57^\circ+\sin^2 57^\circ+2\cos57^\circ\cos33^\circ \\ &=1+2\cos57^\circ\cos33^\circ \\ &=1+\frac{1}{\sqrt{1+\alpha^2}} \end{aligned} $$

よって、

$$ [\text{ケ}]=\frac{1}{\sqrt{1+\alpha^2}} $$

最後に、

$$ \tan123^\circ=\tan(180^\circ-57^\circ)=-\tan57^\circ $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \tan24^\circ+\tan33^\circ+\tan123^\circ &=\alpha+\tan33^\circ-\tan57^\circ \\ &=\alpha-(\tan57^\circ-\tan33^\circ) \\ &=\alpha-2\alpha \\ &=-\alpha \end{aligned} $$

したがって、$[\text{コ}]=-\alpha$ である。

解説

この問題の核は、角の組合せに気づくことである。

$24^\circ$ と $66^\circ$、$57^\circ$ と $33^\circ$ は補角の関係にあり、積が $1$ になる。また $57^\circ-33^\circ=24^\circ$ なので、差の公式から $\tan57^\circ-\tan33^\circ$ を直接 $\alpha$ で表せる。

その後は 「和と積」または 「$x-\dfrac{1}{x}=2\alpha$ から二次方程式を作る」 という典型処理で $\tan57^\circ,\tan33^\circ$ を決めればよい。さらに $\cos57^\circ\cos33^\circ$ は、$\tan$ を使って整理すると自然に $\alpha$ の式に落ちる。

答え

**(1)**

$$ [\text{ア}]=1,\qquad [\text{イ}]=1 $$

**(2)**

$$ [\text{ウ}]=\frac{1}{\sqrt{1+\alpha^2}},\qquad [\text{エ}]=\frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^2}} $$

$$ [\text{オ}]=2\alpha $$

$$ [\text{カ}]=\alpha+\sqrt{1+\alpha^2},\qquad [\text{キ}]=\sqrt{1+\alpha^2}-\alpha $$

$$ [\text{ク}]=\frac{1}{2\sqrt{1+\alpha^2}},\qquad [\text{ケ}]=\frac{1}{\sqrt{1+\alpha^2}} $$

$$ [\text{コ}]=-\alpha $$