解説

方針・初手

画像の条件は

$$ \sin^3 x+\sin^3 y=\frac{3\sqrt{15}}{32},\qquad \frac{\sin y}{\sin x}+\frac{\sin x}{\sin y}=3 $$

である。したがって

$$ a=\sin x,\qquad b=\sin y $$

とおき、まず $a+b$ と $ab$ を求める。

解法1

$$ a=\sin x,\qquad b=\sin y $$

とおく。$x,y$ は $-\dfrac{\pi}{2}<x,y<\dfrac{\pi}{2}$ にある 0 でない実数なので、$a,b$ も 0 ではない。

第2式より

$$ \frac{b}{a}+\frac{a}{b}=3 $$

であるから、両辺に $ab$ をかけて

$$ a^2+b^2=3ab $$

を得る。

また

$$ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $$

であり、$a^2+b^2=3ab$ だから

$$ a^2-ab+b^2=2ab $$

である。よって

$$ a^3+b^3=2ab(a+b) $$

となる。

ここで $s=a+b$ とおくと、

$$ s^2=a^2+2ab+b^2=5ab $$

より

$$ ab=\frac{s^2}{5} $$

である。したがって

$$ a^3+b^3=2\cdot \frac{s^2}{5}\cdot s =\frac{2s^3}{5} $$

となる。

条件 $\sin^3 x+\sin^3 y=\dfrac{3\sqrt{15}}{32}$ から

$$ \frac{2s^3}{5}=\frac{3\sqrt{15}}{32} $$

すなわち

$$ s^3=\frac{15\sqrt{15}}{64} =\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^3 $$

である。よって

$$ a+b=\frac{\sqrt{15}}{4} $$

であり、さらに

$$ ab=\frac{s^2}{5} =\frac{1}{5}\cdot\frac{15}{16} =\frac{3}{16} $$

を得る。

次に $x+y$ を求める。

$$ \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y $$

である。ここで $a+b>0,\ ab>0$ より $a,b$ はともに正である。したがって

$$ 0<x<\frac{\pi}{2},\qquad 0<y<\frac{\pi}{2} $$

であり、$\cos x,\cos y$ はともに正である。

また

$$ a^2+b^2=3ab=\frac{9}{16} $$

だから

$$ \begin{aligned} \cos x\cos y &=\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}\\ &=\sqrt{1-(a^2+b^2)+a^2b^2}\\ &=\sqrt{1-\frac{9}{16}+\frac{9}{256}}\\ &=\sqrt{\frac{121}{256}}\\ &=\frac{11}{16}. \end{aligned} $$

したがって

$$ \cos(x+y)=\frac{11}{16}-\frac{3}{16} =\frac{1}{2} $$

である。

さらに

$$ 0<x+y<\pi $$

なので、

$$ x+y=\frac{\pi}{3} $$

となる。

解説

この問題では、最初の式の指数が $3$ である点が重要である。第2式から $a^2+b^2=3ab$ が出るので、$a^3+b^3$ を

$$ (a+b)(a^2-ab+b^2) $$

と因数分解すると、$a+b$ と $ab$ が順に決まる。

その後は

$$ \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y $$

を用いる。$a,b>0$ から $x,y$ は第1象限にあるため、$\cos x\cos y$ の平方根は正に取れる。

答え

$$ x+y=\frac{\pi}{3} $$