解説

方針・初手

$(1)$ は $\sin x-\cos x$ を1つの三角関数にまとめると、符号判定がしやすい。

$(2)$ は両辺が絶対値でともに非負なので、2乗して同値変形できる。

$(3)$ は左辺が常に非負であることに注意すると、まず $\cos x\geqq 0$ が必要である。そのうえで2乗して処理する。

解法1

$(1)\ \sin x\leqq \cos x$

左辺を移項すると

$$ \sin x-\cos x\leqq 0 $$

である。ここで

$$ \sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) $$

より、

$$ \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\leqq 0 $$

を解けばよい。

$0\leqq x<2\pi$ だから

$$ -\frac{\pi}{4}\leqq x-\frac{\pi}{4}<\frac{7\pi}{4} $$

である。この範囲で $\sin \theta\leqq 0$ となるのは

$$ -\frac{\pi}{4}\leqq \theta\leqq 0,\quad \pi\leqq \theta<\frac{7\pi}{4} $$

であるから、

$$ -\frac{\pi}{4}\leqq x-\frac{\pi}{4}\leqq 0 $$

または

$$ \pi\leqq x-\frac{\pi}{4}<\frac{7\pi}{4} $$

となる。したがって

$$ 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{4},\quad \frac{5\pi}{4}\leqq x<2\pi $$

である。

$(2)\ |\sin x|\leqq |\cos x|$

両辺とも非負なので、2乗して同値である。よって

$$ \sin^2x\leqq \cos^2x $$

すなわち

$$ \cos^2x-\sin^2x\geqq 0 $$

となるから、

$$ \cos 2x\geqq 0 $$

を解けばよい。

$0\leqq x<2\pi$ より $0\leqq 2x<4\pi$ である。この範囲で $\cos 2x\geqq 0$ となるのは

$$ 0\leqq 2x\leqq \frac{\pi}{2},\quad \frac{3\pi}{2}\leqq 2x\leqq \frac{5\pi}{2},\quad \frac{7\pi}{2}\leqq 2x<4\pi $$

である。これを $2$ で割ると

$$ 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{4},\quad \frac{3\pi}{4}\leqq x\leqq \frac{5\pi}{4},\quad \frac{7\pi}{4}\leqq x<2\pi $$

を得る。

$(3)\ |\sin x|\leqq \cos x$

左辺は常に $0$ 以上なので、この不等式が成り立つためにはまず

$$ \cos x\geqq 0 $$

でなければならない。

この条件のもとでは両辺とも非負だから、2乗して同値である。よって

$$ \sin^2x\leqq \cos^2x $$

すなわち

$$ \cos 2x\geqq 0 $$

を満たす必要がある。

したがって、$(3)$ の解は

• $\cos x\geqq 0$
• $\cos 2x\geqq 0$

を同時に満たす $x$ である。

まず $\cos x\geqq 0$ より

$$ 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2},\quad \frac{3\pi}{2}\leqq x<2\pi $$

である。

一方、$(2)$ より $\cos 2x\geqq 0$ の解は

$$ 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{4},\quad \frac{3\pi}{4}\leqq x\leqq \frac{5\pi}{4},\quad \frac{7\pi}{4}\leqq x<2\pi $$

であった。

これらの共通部分をとると

$$ 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{4},\quad \frac{7\pi}{4}\leqq x<2\pi $$

となる。

解説

$(1)$ は加法定理を用いて $\sin x-\cos x$ を $\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ とまとめるのが基本である。

$(2)$ は絶対値があるため、2乗して $\cos 2x\geqq 0$ に帰着するのが最短である。

$(3)$ は $(2)$ と似ているが、右辺に絶対値がないため、そのまま2乗すると不適切になる場合がある。まず $\cos x\geqq 0$ が必要であることを確認してから2乗するのが重要である。

答え

**(1)**

$$ 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{4},\quad \frac{5\pi}{4}\leqq x<2\pi $$

**(2)**

$$ 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{4},\quad \frac{3\pi}{4}\leqq x\leqq \frac{5\pi}{4},\quad \frac{7\pi}{4}\leqq x<2\pi $$

**(3)**

$$ 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{4},\quad \frac{7\pi}{4}\leqq x<2\pi $$