解説

方針・初手

まず （1） では，$\cos(\cos x)$ と $\cos(\sin x)$ を直接比べるのではなく，$\cos x$ と $\sin x$ の大小に帰着させるのが基本である。 $\cos(\cos x)=\cos(|\cos x|)$ を用いれば，比較すべき引数は $|\cos x|$ と $\sin x$ になる。

（2） では，$\sin\beta=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\beta\right)$ と変形して，余弦関数の単調性を使う。 そのうえで $\alpha=|\cos x|,\ \beta=\sin x$ とおけば，示すべき不等式にそのまま適用できる。

解法1

（1） $|\cos x|=\sin x$ を満たす $x$ と，$\cos(\cos x)$，$\cos(\sin x)$ の大小比較

$0\leqq x\leqq \pi$ では $\sin x\geqq 0$ であるから，

$$ |\cos x|=\sin x $$

の両辺を2乗してよい。すると

$$ \cos^2 x=\sin^2 x $$

より，

$$ \cos 2x=0 $$

となる。したがって

$$ 2x=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2} $$

であり，

$$ x=\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4} $$

を得る。

次に $\cos(\cos x)$ と $\cos(\sin x)$ を比較する。

$\cos t$ は $0\leqq t\leqq 1$ で単調減少し，また余弦関数は偶関数であるから，

$$ \cos(\cos x)=\cos(|\cos x|) $$

である。ここで $|\cos x|,\ \sin x$ はともに $[0,1]$ に属するので，$\cos t$ の単調減少性より

$$ |\cos x|>\sin x \iff \cos(\cos x)<\cos(\sin x), $$

$$ |\cos x|=\sin x \iff \cos(\cos x)=\cos(\sin x), $$

$$ |\cos x|<\sin x \iff \cos(\cos x)>\cos(\sin x) $$

となる。

そこで $|\cos x|$ と $\sin x$ の大小を調べる。 先ほど等号成立が $x=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{3\pi}{4}$ のときであったから，

• $0\leqq x<\dfrac{\pi}{4}$ および $\dfrac{3\pi}{4}<x\leqq \pi$ では $|\cos x|>\sin x$
• $\dfrac{\pi}{4}<x<\dfrac{3\pi}{4}$ では $|\cos x|<\sin x$

である。よって

$$ \begin{cases} \cos(\cos x)<\cos(\sin x) & \left(0\leqq x<\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{3\pi}{4}<x\leqq \pi\right),\\[1mm] \cos(\cos x)=\cos(\sin x) & \left(x=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{3\pi}{4}\right),\\[1mm] \cos(\cos x)>\cos(\sin x) & \left(\dfrac{\pi}{4}<x<\dfrac{3\pi}{4}\right). \end{cases} $$

（2） $\alpha\geqq 0,\ \beta\geqq 0,\ \alpha+\beta<\dfrac{\pi}{2}$ のとき $\cos\alpha>\sin\beta$ を示し，さらに $\cos(\cos x)>\sin(\sin x)$ を示す

まず

$$ \sin\beta=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right) $$

である。条件 $\alpha+\beta<\dfrac{\pi}{2}$ より

$$ \alpha<\frac{\pi}{2}-\beta $$

となる。

また $\beta\geqq 0$ であるから $\dfrac{\pi}{2}-\beta\leqq \dfrac{\pi}{2}$ であり，$\alpha\geqq 0$ と合わせて

$$ 0\leqq \alpha<\frac{\pi}{2}-\beta\leqq \frac{\pi}{2} $$

が成り立つ。余弦関数は $[0,\pi]$ で単調減少するから，

$$ \alpha<\frac{\pi}{2}-\beta \quad \Longrightarrow \quad \cos\alpha>\cos\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)=\sin\beta $$

となる。これで前半は示された。

次に $0\leqq x\leqq \pi$ とする。 $\alpha=|\cos x|,\ \beta=\sin x$ とおけば，$\alpha\geqq 0,\ \beta\geqq 0$ である。さらに

$$ \alpha+\beta=|\cos x|+\sin x $$

について，$\sin x\geqq 0$ であるから

$$ (|\cos x|+\sin x)^2 =\cos^2 x+\sin^2 x+2|\cos x|\sin x \leqq 1+1=2 $$

より

$$ |\cos x|+\sin x\leqq \sqrt{2}<\frac{\pi}{2} $$

である。したがって $\alpha+\beta<\dfrac{\pi}{2}$ が成り立つ。

ゆえに前半で示した結果を適用して

$$ \cos|\cos x|>\sin(\sin x) $$

を得る。余弦関数は偶関数であるから $\cos|\cos x|=\cos(\cos x)$ であり，

$$ \cos(\cos x)>\sin(\sin x) $$

が示された。

解説

この問題の要点は，合成関数の比較をそのまま行わず，「外側の関数の単調性」と「内側の引数の大小比較」に分解することである。

（1） では $\cos(\cos x)=\cos(|\cos x|)$ と直してから，$\cos t$ が $[0,1]$ で減少することを使うのが核心である。したがって本質は $|\cos x|$ と $\sin x$ の比較であり，その境目が $|\cos x|=\sin x$ となる $x=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{3\pi}{4}$ である。

（2） では $\sin\beta$ を余弦に直して，余弦の単調性に持ち込むのが標準的な処理である。その後は $\alpha=|\cos x|,\ \beta=\sin x$ と置けるように，$|\cos x|+\sin x<\dfrac{\pi}{2}$ を確認すればよい。ここで最大値評価に $\sqrt{2}$ を用いるのが自然である。

答え

**(1)**

$$ |\cos x|=\sin x \iff x=\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4} $$

また，

$$ \begin{cases} \cos(\cos x)<\cos(\sin x) & \left(0\leqq x<\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{3\pi}{4}<x\leqq \pi\right),\\[1mm] \cos(\cos x)=\cos(\sin x) & \left(x=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{3\pi}{4}\right),\\[1mm] \cos(\cos x)>\cos(\sin x) & \left(\dfrac{\pi}{4}<x<\dfrac{3\pi}{4}\right). \end{cases} $$

**(2)**

$\alpha\geqq 0,\ \beta\geqq 0,\ \alpha+\beta<\dfrac{\pi}{2}$ のとき

$$ \cos\alpha>\sin\beta $$

が成り立つ。したがって $0\leqq x\leqq \pi$ では

$$ \cos(\cos x)>\sin(\sin x) $$

が成り立つ。