解説

方針・初手

$\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)$ を加法定理で $\sin\theta,\cos\theta$ に直し，式全体を整理するのが最も直接的である。 $\theta$ を含む項が消えて，定数になることを示す。

解法1

与式を

$$ S=\sin^2\theta+\sin^2\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)-\sin\theta\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) $$

とおく。

加法定理より，

$$ \sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\theta\cos\frac{\pi}{3}+\cos\theta\sin\frac{\pi}{3} =\frac{1}{2}\sin\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta $$

である。したがって，

$$ \sin^2\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) =\left(\frac{1}{2}\sin\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\right)^2 =\frac{1}{4}\sin^2\theta+\frac{3}{4}\cos^2\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta\cos\theta $$

また，

$$ \sin\theta\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) =\sin\theta\left(\frac{1}{2}\sin\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\right) =\frac{1}{2}\sin^2\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta\cos\theta $$

である。

これらを $S$ に代入すると，

$$ \begin{aligned} S &=\sin^2\theta+\left(\frac{1}{4}\sin^2\theta+\frac{3}{4}\cos^2\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta\cos\theta\right) -\left(\frac{1}{2}\sin^2\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta\cos\theta\right) \\ &=\left(1+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)\sin^2\theta+\frac{3}{4}\cos^2\theta \\ &=\frac{3}{4}\sin^2\theta+\frac{3}{4}\cos^2\theta \\ &=\frac{3}{4}\left(\sin^2\theta+\cos^2\theta\right) \\ &=\frac{3}{4} \end{aligned} $$

となる。

よって，与式の値は $\theta$ に無関係な定数である。

解法2

与式を再び

$$ S=\sin^2\theta+\sin^2\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)-\sin\theta\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) $$

とする。

まず，

$$ \sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2},\qquad \sin A\sin B=\frac{\cos(A-B)-\cos(A+B)}{2} $$

を用いると，

$$ \sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2}, \qquad \sin^2\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1-\cos\left(2\theta+\frac{2\pi}{3}\right)}{2} $$

および

$$ \sin\theta\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) =\frac{\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)-\cos\left(2\theta+\frac{\pi}{3}\right)}{2} =\frac{\frac{1}{2}-\cos\left(2\theta+\frac{\pi}{3}\right)}{2} $$

である。

したがって，

$$ \begin{aligned} S &=\frac{1-\cos2\theta}{2} +\frac{1-\cos\left(2\theta+\frac{2\pi}{3}\right)}{2} -\frac{\frac{1}{2}-\cos\left(2\theta+\frac{\pi}{3}\right)}{2} \\ &=\frac{3}{4} +\frac{-\cos2\theta-\cos\left(2\theta+\frac{2\pi}{3}\right)+\cos\left(2\theta+\frac{\pi}{3}\right)}{2} \end{aligned} $$

となる。ここで $X=2\theta+\dfrac{\pi}{3}$ とおくと，

$$ \cos2\theta=\cos\left(X-\frac{\pi}{3}\right),\qquad \cos\left(2\theta+\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\left(X+\frac{\pi}{3}\right) $$

であるから，

$$ -\cos2\theta-\cos\left(2\theta+\frac{2\pi}{3}\right)+\cos\left(2\theta+\frac{\pi}{3}\right) $$

は

$$ -\cos\left(X-\frac{\pi}{3}\right)-\cos\left(X+\frac{\pi}{3}\right)+\cos X $$

に等しい。さらに，

$$ \cos\left(X-\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(X+\frac{\pi}{3}\right)=2\cos X\cos\frac{\pi}{3}=\cos X $$

より，上の式は $0$ になる。

よって，

$$ S=\frac{3}{4} $$

であり，与式は $\theta$ に無関係な定数である。

解説

この問題の要点は，$\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)$ を加法定理で展開すると，$\sin\theta\cos\theta$ の項がちょうど打ち消し合うことである。 したがって，最も見通しがよいのは解法1である。

一方，解法2のように積和公式と倍角公式で処理すると，「$\theta$ を含む余弦項全体が相殺される」という構造が見える。三角関数の式が定数になることを示す問題では，このような整理も有効である。

答え

与式は $\theta$ に無関係な定数であり，その値は

$$ \frac{3}{4} $$

である。