基礎問題集
数学2 三角関数「三角関数」の問題59 解説
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解説
方針・初手
分子の $\sin x-\sin y$、分母の $\cos x+\cos y$ は、ともに加法定理から得られる積の形に変形できる。 和積公式を用いて共通因子を消せば、$x-y=\dfrac{\pi}{3}$ をそのまま代入できる形になる。
解法1
和積公式より、
$$ \sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $$
また、
$$ \cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $$
したがって、求める値は
$$ \frac{\sin x-\sin y}{\cos x+\cos y} =\frac{2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}}{2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}} =\tan\frac{x-y}{2} $$
となる。
ここで $x-y=\dfrac{\pi}{3}$ であるから、
$$ \tan\frac{x-y}{2} =\tan\frac{\pi}{6} =\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{3}}{3} $$
よって求める値は
$$ \frac{\sqrt{3}}{3} $$
である。
解説
この問題の要点は、分子と分母を別々に処理するのではなく、どちらも和積公式で同じ $\dfrac{x+y}{2},\dfrac{x-y}{2}$ を含む形にそろえることである。 すると $\cos\dfrac{x+y}{2}$ が約され、条件 $x-y=\dfrac{\pi}{3}$ だけで値が決まる。
答え
[②] $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$