解説

方針・初手

与えられた式は半角公式

$$ 1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2},\qquad 1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2} $$

を使うと、$\dfrac{x}{2}$ の三角比に直せる。

ただし、$\sqrt{\phantom{a}}$ は常に非負であるから、符号の扱いに注意する。

解法1

半角公式より、

$$ \begin{aligned} \sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}} &= \sqrt{\frac{2\cos^2\frac{x}{2}}{2\sin^2\frac{x}{2}}} \\ \sqrt{\frac{\cos^2\frac{x}{2}}{\sin^2\frac{x}{2}}} \\ \left|\cot\frac{x}{2}\right| \end{aligned} $$

である。

ここで、$-90^\circ<x<0^\circ$ だから

$$ -45^\circ<\frac{x}{2}<0^\circ $$

となる。したがって、$\dfrac{x}{2}$ は第4象限にあり、

$$ \sin\frac{x}{2}<0,\qquad \cos\frac{x}{2}>0 $$

より

$$ \cot\frac{x}{2}<0 $$

である。よって

$$ \left|\cot\frac{x}{2}\right|=-\cot\frac{x}{2} $$

となる。

与えられた条件

$$ \sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}=8 $$

から

$$ -\cot\frac{x}{2}=8 $$

すなわち

$$ \cot\frac{x}{2}=-8 $$

である。したがって

$$ \tan\frac{x}{2}=-\frac{1}{8} $$

となる。

解法2

$t=\tan\dfrac{x}{2}$ とおく。

半角の公式

$$ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} \frac{1+\cos x}{1-\cos x} &= \frac{1+\frac{1-t^2}{1+t^2}}{1-\frac{1-t^2}{1+t^2}} \\ \frac{\frac{2}{1+t^2}}{\frac{2t^2}{1+t^2}} \\ \frac{1}{t^2} \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ \begin{aligned} \sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}} &= \sqrt{\frac{1}{t^2}} \\ \frac{1}{|t|} \end{aligned} $$

である。

これが $8$ に等しいので

$$ \frac{1}{|t|}=8 $$

より

$$ |t|=\frac{1}{8} $$

を得る。

また、$-90^\circ<x<0^\circ$ より

$$ -45^\circ<\frac{x}{2}<0^\circ $$

だから

$$ t=\tan\frac{x}{2}<0 $$

である。ゆえに

$$ t=-\frac{1}{8} $$

すなわち

$$ \tan\frac{x}{2}=-\frac{1}{8} $$

となる。

解説

この問題の要点は、与式を半角の三角比に直すことである。ただし、

$$ \sqrt{\frac{\cos^2\frac{x}{2}}{\sin^2\frac{x}{2}}} =\left|\cot\frac{x}{2}\right| $$

であって、単純に $\cot\dfrac{x}{2}$ とはならない。区間 $-90^\circ<x<0^\circ$ から $\dfrac{x}{2}$ の符号を判定し、絶対値を外す必要がある。

答え

$$ \tan\frac{x}{2}=-\frac{1}{8} $$

したがって、$[オ]=-\dfrac{1}{8}$ である。