基礎問題集
数学2 三角関数「三角関数」の問題61 解説
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解説
方針・初手
$\sin 2\theta$ は倍角公式
$$ \sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta $$
を用いても求められるが、$\tan\theta$ が与えられているので
$$ \sin 2\theta=\frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} $$
を使うのが最も直接的である。
解法1
与えられた条件は
$$ \tan\theta=\frac{1}{3} $$
である。
したがって、
$$ \sin 2\theta=\frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} $$
に代入すると、
$$ \sin 2\theta =\frac{2\cdot \frac{1}{3}}{1+\left(\frac{1}{3}\right)^2} =\frac{\frac{2}{3}}{1+\frac{1}{9}} =\frac{\frac{2}{3}}{\frac{10}{9}} =\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{10} =\frac{3}{5} $$
となる。
解説
$\tan\theta$ が与えられているときは、$\sin\theta,\cos\theta$ を別々に求めるよりも、
$$ \sin 2\theta=\frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} $$
を使うと計算が短く済む。
また、この式は $\tan\theta$ の値だけで決まるので、$\theta$ の象限を場合分けする必要もない。
答え
$$ \boxed{\frac{3}{5}} $$