解説

方針・初手

左辺から $\dfrac12$ を移項して因数分解すると，積の符号の問題になる。 したがって，それぞれの因子が正か負かを三角関数の基本範囲で調べればよい。

解法1

与えられた不等式は

$$ \sin 2x+\sin x-\cos x>\frac12 $$

であるから，

$$ \sin 2x+\sin x-\cos x-\frac12>0 $$

と変形する。

ここで $\sin 2x=2\sin x\cos x$ を用いると，

$$ 2\sin x\cos x+\sin x-\cos x-\frac12>0 $$

となる。これを因数分解すると，

$$ (2\sin x-1)\left(\cos x+\frac12\right)>0 $$

を得る。

したがって， $,(2\sin x-1)$ と $\left(\cos x+\dfrac12\right)$ が同符号であればよい。

まず，

$$ 2\sin x-1>0 \iff \sin x>\frac12 \iff \frac{\pi}{6}<x<\frac{5\pi}{6} $$

であり，

$$ 2\sin x-1<0 \iff \sin x<\frac12 \iff 0\leqq x<\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}<x<2\pi $$

である。

次に，

$$ \cos x+\frac12>0 \iff \cos x>-\frac12 \iff 0\leqq x<\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3}<x<2\pi $$

であり，

$$ \cos x+\frac12<0 \iff \cos x<-\frac12 \iff \frac{2\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3} $$

である。

よって，積が正になるのは次の2通りである。

（i） 両方とも正

$$ \frac{\pi}{6}<x<\frac{5\pi}{6} \quad \text{かつ} \quad 0\leqq x<\frac{2\pi}{3}\ \text{または}\ \frac{4\pi}{3}<x<2\pi $$

より，

$$ \frac{\pi}{6}<x<\frac{2\pi}{3} $$

（ii） 両方とも負

$$ \left(0\leqq x<\frac{\pi}{6}\ \text{または}\ \frac{5\pi}{6}<x<2\pi\right) \quad \text{かつ} \quad \frac{2\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3} $$

より，

$$ \frac{5\pi}{6}<x<\frac{4\pi}{3} $$

以上より，求める範囲は

$$ \frac{\pi}{6}<x<\frac{2\pi}{3} \quad \text{または} \quad \frac{5\pi}{6}<x<\frac{4\pi}{3} $$

である。

解説

この問題の要点は，

$$ \sin 2x+\sin x-\cos x-\frac12 $$

をそのまま扱わず，$\sin 2x=2\sin x\cos x$ を使って因数分解することである。

実際，

$$ \begin{aligned} 2\sin x\cos x+\sin x-\cos x-\frac12 &= (2\sin x-1)\left(\cos x+\frac12\right) \end{aligned} $$

ときれいに分かれるので，あとは $\sin x=\dfrac12$，$\cos x=-\dfrac12$ となる角を基準に符号を調べればよい。

等号は含まれず，不等号は厳密に $>$ であるから，端点 $x=\dfrac{\pi}{6},\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{5\pi}{6},\dfrac{4\pi}{3}$ は含まれないことにも注意する。

答え

$$ \frac{\pi}{6}<x<\frac{2\pi}{3} \quad \text{または} \quad \frac{5\pi}{6}<x<\frac{4\pi}{3} $$