解説

方針・初手

$\sin x-\sqrt{3}\cos x$ を合成して 1 つの三角関数に直すと、方程式も最大・最小もまとめて扱いやすくなる。

$$ \sin x-\sqrt{3}\cos x=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) $$

であるから、

$$ f(x)=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1 $$

と変形して考える。

解法1

まず、方程式 $f(x)=0$ を解く。

$$ 2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1=0 $$

より、

$$ \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2} $$

となる。

ここで $0\leqq x\leqq \pi$ なので、

$$ -\frac{\pi}{3}\leqq x-\frac{\pi}{3}\leqq \frac{2\pi}{3} $$

である。この範囲で $\sin \theta=-\dfrac12$ となるのは

$$ \theta=-\frac{\pi}{6} $$

のみである。したがって、

$$ x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6} $$

より、

$$ x=\frac{\pi}{6} $$

である。よって、[①] は $\dfrac{\pi}{6}$ である。

次に、$f(x)$ の最大値と最小値の差を求める。

$$ f(x)=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1 $$

であり、

$$ -\frac{\pi}{3}\leqq x-\frac{\pi}{3}\leqq \frac{2\pi}{3} $$

であるから、$\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)$ の最大値は $1$、最小値は $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ である。

したがって、

$$ f(x)_{\max}=2\cdot 1+1=3 $$

$$ f(x)_{\min}=2\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+1=1-\sqrt{3} $$

となるので、その差は

$$ 3-(1-\sqrt{3})=2+\sqrt{3} $$

である。よって、[②] は $2+\sqrt{3}$ である。

解説

$\sin x$ と $\cos x$ の一次結合は、合成によって 1 つの $\sin$ または $\cos$ に直すのが基本である。この問題では、方程式を解くときも、最大・最小を調べるときも同じ変形がそのまま使える。

また、最大値・最小値を考えるときは、単に振幅が 2 だからといって値域がすぐに $[-2,2]$ になるとは限らない。今回は変数の範囲が $0\leqq x\leqq \pi$ に限られているため、$\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)$ が取りうる範囲をきちんと確認することが重要である。

答え

[①] $x=\dfrac{\pi}{6}$

[②] $2+\sqrt{3}$