解説

方針・初手

点 $P,Q$ は半径 $1$ の円周上にあるので，まず座標を三角比で表す。次に，四角形 $BPQC$ が平行四辺形であることから，ベクトルの関係 $ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{PQ} $ を用いて点 $C$ の座標を求める。

面積は，隣り合う辺 $\overrightarrow{BP},\overrightarrow{PQ}$ のなす平行四辺形の面積として表せる。最後は三角関数の積を和に直して最大値を調べる。

解法1

点 $A=(1,0)$ であり，$\angle AOP=\theta$，$\angle AOQ=\theta+\dfrac{\pi}{3}$ だから，

$$ P=(\cos\theta,\sin\theta),\qquad Q=\left(\cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right),\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)\right) $$

である。

また，点 $P$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足を $B$ とするので，

$$ B=(\cos\theta,0) $$

である。

四角形 $BPQC$ が平行四辺形であるから，

$$ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{PQ} $$

が成り立つ。したがって，

$$ C=B+(Q-P) $$

より，

$$ \begin{aligned} C &=\left(\cos\theta,0\right) +\left(\cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)-\cos\theta,\ \sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)-\sin\theta\right) \\ &=\left(\cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right),\ \sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)-\sin\theta\right). \end{aligned} $$

よって，（1） の答えは

$$ C=\left(\cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right),\ \sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)-\sin\theta\right) $$

である。

次に，（2） を求める。

平行四辺形 $BPQC$ の面積を $S$ とすると，

$$ \overrightarrow{BP}=(0,\sin\theta),\qquad \overrightarrow{PQ}=\left(\cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)-\cos\theta,\ \sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)-\sin\theta\right) $$

だから，

$$ \begin{aligned} S &=\left|\det\begin{pmatrix} 0 & \cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)-\cos\theta \\ \sin\theta & \sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)-\sin\theta \end{pmatrix}\right| \ &=\left|-\sin\theta\left(\cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)-\cos\theta\right)\right|. \end{aligned} $$

ここで $0<\theta<\dfrac{2\pi}{3}$ より $0<\theta<\theta+\dfrac{\pi}{3}<\pi$ であり，この範囲では $\cos x$ は単調減少するから，

$$ \cos\theta-\cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)>0 $$

である。よって，

$$ S=\sin\theta\left(\cos\theta-\cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)\right) $$

となる。

さらに，公式 $\cos a-\cos b=-2\sin\dfrac{a+b}{2}\sin\dfrac{a-b}{2}$ を用いると，

$$ \cos\theta-\cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) =2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)\sin\frac{\pi}{6} =\sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right) $$

であるから，

$$ S=\sin\theta\sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right) $$

となる。これを積和公式で変形すると，

$$ \begin{aligned} S &=\frac12\left\{\cos\left(\theta-\theta-\frac{\pi}{6}\right)-\cos\left(\theta+\theta+\frac{\pi}{6}\right)\right\} \\ &=\frac12\left(\cos\frac{\pi}{6}-\cos\left(2\theta+\frac{\pi}{6}\right)\right) \\ &=\frac{\sqrt3}{4}-\frac12\cos\left(2\theta+\frac{\pi}{6}\right). \end{aligned} $$

ここで，

$$ 0<\theta<\frac{2\pi}{3} $$

より，

$$ \frac{\pi}{6}<2\theta+\frac{\pi}{6}<\frac{3\pi}{2} $$

である。この範囲で $\cos\left(2\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)$ の最小値は $-1$ であり，それは

$$ 2\theta+\frac{\pi}{6}=\pi $$

すなわち，

$$ \theta=\frac{5\pi}{12} $$

のときに達する。

したがって面積の最大値は

$$ S_{\max}=\frac{\sqrt3}{4}-\frac12(-1)=\frac{2+\sqrt3}{4} $$

である。

解説

点 $C$ は，平行四辺形の性質から $C=B+Q-P$ と一気に求めるのが最も自然である。

面積については，座標を使って行列式で出すと確実である。計算後に $S=\sin\theta\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)$ の形まで整理できれば，積和公式で一次の三角関数に直せるので最大値がすぐに分かる。

答え

**(1)**

$$ C=\left(\cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right),\ \sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)-\sin\theta\right) $$

**(2)**

面積の最大値は

$$ \frac{2+\sqrt3}{4} $$

であり，そのとき

$$ \theta=\frac{5\pi}{12} $$

である。