解説

方針・初手

$\sin(\theta+\alpha)\sin(\theta-\alpha)$ の形は、積和公式または展開によって $\sin^2\theta$ を含む式に整理できる。 ここでは

$$ \sin(\theta+\alpha)\sin(\theta-\alpha)=\sin^2\theta-\sin^2\alpha $$

を用いるのが最も速い。

解法1

与式を

$$ \sin\theta\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right) $$

とする。

まず、

$$ \sin(\theta+\alpha)\sin(\theta-\alpha)=\sin^2\theta-\sin^2\alpha $$

に $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} \sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right) &= \sin^2\theta-\sin^2\frac{\pi}{3} \end{aligned} $$

となる。ここで

$$ \sin^2\frac{\pi}{3}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{3}{4} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right) &= \sin^2\theta-\frac{3}{4} \end{aligned} $$

したがって、もとの式は

$$ \begin{aligned} \sin\theta\left(\sin^2\theta-\frac{3}{4}\right) &= \sin^3\theta-\frac{3}{4}\sin\theta \end{aligned} $$

となる。

よって、

$$ a=1,\qquad b=-\frac{3}{4} $$

である。

解説

この問題の要点は、3つの正弦の積をそのまま展開しようとせず、 まず

$$ \sin(\theta+\alpha)\sin(\theta-\alpha) $$

という対称な形に注目することである。

この形は $\sin^2\theta-\sin^2\alpha$ にまとまるため、最後に $\sin\theta$ を掛ければ $\sin^3\theta$ と $\sin\theta$ の一次結合になる。問題文の形にそのまま対応する典型的な処理である。

答え

$$ (a,b)=\left(1,-\frac{3}{4}\right) $$