解説

方針・初手

$\cos a\theta=\cos b\theta$ をそのまま扱うより、差をとって積の形に直すのが基本である。

$$ \cos a\theta-\cos b\theta =-2\sin\frac{(a+b)\theta}{2}\sin\frac{(a-b)\theta}{2} $$

したがって、条件 $(*)$ は 「$\sin\frac{(a+b)\theta}{2}=0$ または $\sin\frac{(a-b)\theta}{2}=0$ を満たす $\theta\in(0,\pi]$ がちょうど1つある」 と言い換えられる。これを用いて、解の個数を数える。

解法1

まず

$$ \cos a\theta=\cos b\theta \iff -2\sin\frac{(a+b)\theta}{2}\sin\frac{(a-b)\theta}{2}=0 $$

より、

$$ \sin\frac{(a+b)\theta}{2}=0 \quad\text{または}\quad \sin\frac{(a-b)\theta}{2}=0 $$

である。

したがって、$\theta$ は

$$ \theta=\frac{2n\pi}{a+b}\quad(n\in\mathbb{N}) $$

または

$$ \theta=\frac{2n\pi}{|a-b|}\quad(n\in\mathbb{N}) $$

の形で表される。ただし $a=b$ のときは $\cos a\theta=\cos b\theta$ が恒等的に成り立ち、$\theta$ は無数に存在するので不適である。よって以後 $a\ne b$ とする。

ここで

$$ S=a+b,\qquad D=|a-b| $$

とおくと、$a,b>0$ より

$$ 0<D<S $$

である。

1. $\theta=\dfrac{2n\pi}{S}$ から生じる解の個数

これが $(0,\pi]$ に入るのは

$$ \frac{2n\pi}{S}\le \pi \iff 2n\le S $$

のときである。したがって、この型の解の個数は $\lfloor S/2\rfloor$ 個である。

特に、ちょうど1個となるのは

$$ 2\le S<4 $$

のときである。

2. $\theta=\dfrac{2n\pi}{D}$ から生じる解の個数

同様に、この型の解が $(0,\pi]$ に存在するのは

$$ \frac{2\pi}{D}\le \pi \iff D\ge 2 $$

のときである。

ところが $D\ge 2$ なら、$S>D$ だから $S\ge 2$ でもあり、

$$ \frac{2\pi}{S}<\frac{2\pi}{D}\le \pi $$

となる。よって $\theta=\dfrac{2\pi}{S}$ と $\theta=\dfrac{2\pi}{D}$ の2つの異なる解が少なくとも存在してしまう。

したがって、解がちょうど1つであるためには

$$ D<2 $$

が必要である。

3. 必要十分条件

以上より、条件 $(*)$ を満たすためには

• $a\ne b$
• $D=|a-b|<2$
• $S=a+b$ について $2\le S<4$

が必要である。

逆に、これらを満たせば、

• $\theta=\dfrac{2n\pi}{D}$ 型の解は存在しない
• $\theta=\dfrac{2n\pi}{S}$ 型の解は $n=1$ のときだけ存在する

ので、$\theta\in(0,\pi]$ はちょうど1つ存在する。

よって求める範囲は

$$ a\ne b,\qquad |a-b|<2,\qquad 2\le a+b<4 $$

である。

解説

この問題の要点は、$\cos x=\cos y$ を $x=\pm y+2k\pi$ と見るよりも、

$$ \cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $$

と因数分解して、2種類の等差的な解列に分けることである。

そのうえで、

• $a+b$ が大きいほど $\theta=\dfrac{2\pi}{a+b}$ 型の解が増える
• $|a-b|$ が $2$ 以上になると、もう一方の型の解も現れてしまう

という見方をすると、条件整理がしやすい。

答え

求める範囲は

$$ \boxed{2\le a+b<4,\quad |a-b|<2,\quad a\ne b} $$

である。

図示すると、第1象限において

直線 $a+b=2$ の上側（この直線上は含む）

直線 $a+b=4$ の下側（この直線上は含まない）

2直線 $a-b=2,\ b-a=2$ の間

ただし直線 $a=b$ は除く

で表される領域である。すなわち、

$$ \boxed{ \begin{cases} 2\le a+b<4,\\ 0<a-b<2 \end{cases} \quad\text{または}\quad \begin{cases} 2\le a+b<4,\\ 0<b-a<2 \end{cases} } $$

である。