解説

方針・初手

和積公式

$$ \sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $$

を用いる。条件が $x+y$ や $\sin x+\sin y$ の形で与えられているので、

$$ u=\frac{x+y}{2},\qquad v=\frac{x-y}{2} $$

とおくと整理しやすい。

解法1

**(1)**

$x+y=\dfrac{\pi}{3}$ のとき

和積公式より

$$ \sin x+\sin y =2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} =2\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{x-y}{2} =\cos\frac{x-y}{2} $$

となる。

ここで $\dfrac{x-y}{2}$ は実数全体を動けるから、

$$ -1\leqq \cos\frac{x-y}{2}\leqq 1 $$

である。したがって、

$$ -1\leqq \sin x+\sin y\leqq 1 $$

となる。

**(2)**

$\sin x+\sin y=\dfrac{8}{5}$ のとき

$u=\dfrac{x+y}{2},\ v=\dfrac{x-y}{2}$ とおくと、

$$ \sin x+\sin y=2\sin u\cos v=\frac{8}{5} $$

より

$$ \sin u\cos v=\frac{4}{5} $$

を得る。

$\cos v$ は $-1\leqq \cos v\leqq 1$ を満たすので、上式が成り立つためには

$$ |\sin u|\geqq \frac{4}{5} $$

でなければならない。したがって

$$ \frac{16}{25}\leqq \sin^2 u\leqq 1 $$

である。

求めるものは

$$ \sin(x+y)=\sin 2u=2\sin u\cos u $$

であるから、

$$ \sin^2(x+y)=4\sin^2u\cos^2u =4\sin^2u(1-\sin^2u) $$

となる。ここで $t=\sin^2u$ とおくと、

$$ \frac{16}{25}\leqq t\leqq 1 $$

かつ

$$ \sin^2(x+y)=4t(1-t) $$

である。

関数 $4t(1-t)$ は $t\geqq \dfrac12$ では単調減少であり、いま $t\in\left[\dfrac{16}{25},1\right]$ なので最大値は $t=\dfrac{16}{25}$ のときである。よって

$$ \sin^2(x+y)\leqq 4\cdot \frac{16}{25}\cdot \frac{9}{25} =\frac{576}{625} $$

すなわち

$$ |\sin(x+y)|\leqq \frac{24}{25} $$

を得る。

また、この上下端は実際にとれる。例えば $\cos v=1$ として $v=0$ を選べば $x=y=u$ であり、条件は

$$ 2\sin u=\frac85 $$

すなわち $\sin u=\dfrac45$ となる。このとき $\cos u=\pm\dfrac35$ をとれるから、

$$ \sin(x+y)=\sin 2u=2\cdot \frac45\cdot \left(\pm\frac35\right)=\pm\frac{24}{25} $$

となる。

したがって、

$$ -\frac{24}{25}\leqq \sin(x+y)\leqq \frac{24}{25} $$

である。

解説

この問題の要点は、$\sin x+\sin y$ に対して和積公式を使い、$x+y$ と $x-y$ に分けることである。

（1） では $x+y$ が固定されるので、$\sin x+\sin y$ は結局 $\cos\dfrac{x-y}{2}$ となり、値域はただちに $[-1,1]$ と分かる。

（2） では $\sin x+\sin y=\dfrac85$ という条件から、$\sin\dfrac{x+y}{2}$ の大きさに制約がかかる。そこから $\sin(x+y)=\sin 2u$ の範囲を調べるのが本筋である。条件をそのままいじるより、$u=\dfrac{x+y}{2}$ と置いて整理するのが最も見通しがよい。

答え

**(1)**

$$ -1\leqq \sin x+\sin y\leqq 1 $$

**(2)**

$$ -\frac{24}{25}\leqq \sin(x+y)\leqq \frac{24}{25} $$