解説

方針・初手

（1） は加法定理をそのまま用いて展開すればよい。

（2） は （1） において $\alpha=2k\theta,\ \beta=\theta$ とおくと，各項が差の形になり，和をとると望ましく消去する。

（3） は （2） の結果に $\theta=\dfrac{\pi}{4n}$ を代入し，さらに上限を $n-1$ として整理すればよい。

解法1

**(1)**

加法定理より，

$$ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta $$

$$ \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta $$

である。したがって，

$$ \begin{aligned} \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta) &=(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)-(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)\\ &=2\cos\alpha\sin\beta \end{aligned} $$

となり，示された。

**(2)**

（1） において $\alpha=2k\theta,\ \beta=\theta$ とおくと，

$$ \sin((2k+1)\theta)-\sin((2k-1)\theta)=2\cos2k\theta\sin\theta $$

を得る。これを $k=1,2,\dots,n$ について足し合わせると，

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\left\{\sin((2k+1)\theta)-\sin((2k-1)\theta)\right\} &= 2\sum_{k=1}^{n}\cos2k\theta\sin\theta \end{aligned} $$

左辺は

$$ (\sin3\theta-\sin\theta)+(\sin5\theta-\sin3\theta)+\cdots+(\sin(2n+1)\theta-\sin(2n-1)\theta) $$

となり，中間の項が消えて

$$ \sin(2n+1)\theta-\sin\theta $$

に等しい。よって，

$$ 2\sum_{k=1}^{n}\cos2k\theta\sin\theta=\sin(2n+1)\theta-\sin\theta $$

が成り立つ。

**(3)**

（2） において，上限を $n-1$ とし，さらに $\theta=\dfrac{\pi}{4n}$ とおく。すると

$$ \begin{aligned} 2\sum_{k=1}^{n-1}\cos\frac{k\pi}{2n}\sin\frac{\pi}{4n} &= \sin\frac{(2n-1)\pi}{4n}-\sin\frac{\pi}{4n} \end{aligned} $$

となる。ここで

$$ \begin{aligned} \sin\frac{(2n-1)\pi}{4n} &= \sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4n}\right) \\ \cos\frac{\pi}{4n} \end{aligned} $$

であるから，

$$ \begin{aligned} 2\sum_{k=1}^{n-1}\cos\frac{k\pi}{2n}\sin\frac{\pi}{4n} &= \cos\frac{\pi}{4n}-\sin\frac{\pi}{4n} \end{aligned} $$

を得る。$n$ は自然数なので $0<\dfrac{\pi}{4n}<\dfrac{\pi}{2}$ であり，$\sin\dfrac{\pi}{4n}\neq0$ である。よって両辺を $\sin\dfrac{\pi}{4n}$ で割ると，

$$ \begin{aligned} 2\sum_{k=1}^{n-1}\cos\frac{k\pi}{2n} &= \cot\frac{\pi}{4n}-1 \end{aligned} $$

したがって，

$$ \begin{aligned} 1+2\sum_{k=1}^{n-1}\cos\frac{k\pi}{2n} &= \cot\frac{\pi}{4n} \end{aligned} $$

となる。両辺の逆数をとれば，

$$ \begin{aligned} \tan\frac{\pi}{4n} &= \frac{1}{1+2\sum_{k=1}^{n-1}\cos\frac{k\pi}{2n}} \end{aligned} $$

となり，示された。

解説

この問題の中心は，三角関数の加法定理から差の形を作り，それを和にしたときの消去を利用する点にある。

（2） は単に公式を使うだけでなく，

$$ \sin((2k+1)\theta)-\sin((2k-1)\theta) $$

という形を作ることで，和をとったときに途中の項が次々と打ち消し合うことが本質である。

（3） は （2） の特殊化であり，$\theta=\dfrac{\pi}{4n}$ を選ぶと右辺が

$$ \begin{aligned} \sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4n}\right)-\sin\frac{\pi}{4n} &= \cos\frac{\pi}{4n}-\sin\frac{\pi}{4n} \end{aligned} $$

となって，$\cot\dfrac{\pi}{4n}$ へ結びつく。したがって，（1） から （2），さらに （3） へと自然につながる構成になっている。

答え

**(1)**

$$ \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta $$

**(2)**

$$ 2\sum_{k=1}^{n}\cos2k\theta\sin\theta=\sin(2n+1)\theta-\sin\theta $$

**(3)**

$$ \begin{aligned} \tan\frac{\pi}{4n} &= \frac{1}{1+2\sum_{k=1}^{n-1}\cos\frac{k\pi}{2n}} \end{aligned} $$

が成り立つ。