解説

方針・初手

（1） は $5$ 倍角の公式を求める問題である。 $(\cos \theta+i\sin \theta)^5=\cos 5\theta+i\sin 5\theta$ を展開して実部を比較すればよい。

（2） は （1） で得た多項式を利用するのが最も自然である。 $\cos 5\theta=0$ となる角を代入すると、$\cos \dfrac{\pi}{10},\ \cos \dfrac{3\pi}{10}$ がある方程式の根になるので、その積を係数比較で求める。

解法1

（1） 多項式 $f(x)$ を求める

ド・モアブルの定理より

$$ (\cos\theta+i\sin\theta)^5=\cos5\theta+i\sin5\theta $$

である。左辺を展開すると

$$ \begin{aligned} (\cos\theta+i\sin\theta)^5 &=\cos^5\theta+5i\cos^4\theta\sin\theta-10\cos^3\theta\sin^2\theta \\ &\quad -10i\cos^2\theta\sin^3\theta+5\cos\theta\sin^4\theta+i\sin^5\theta \end{aligned} $$

したがって実部を比較して

$$ \cos5\theta=\cos^5\theta-10\cos^3\theta\sin^2\theta+5\cos\theta\sin^4\theta $$

を得る。

ここで $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ を用いると

$$ \begin{aligned} \cos5\theta &=\cos^5\theta-10\cos^3\theta(1-\cos^2\theta)+5\cos\theta(1-\cos^2\theta)^2 \\ &=\cos^5\theta-10\cos^3\theta+10\cos^5\theta+5\cos\theta-10\cos^3\theta+5\cos^5\theta \\ &=16\cos^5\theta-20\cos^3\theta+5\cos\theta \end{aligned} $$

よって

$$ f(x)=16x^5-20x^3+5x $$

である。

（2）

$\cos\dfrac{\pi}{10}\cos\dfrac{3\pi}{10}\cos\dfrac{7\pi}{10}\cos\dfrac{9\pi}{10}=\dfrac{5}{16}$ を示す

まず

$$ \cos\frac{7\pi}{10}=\cos\left(\pi-\frac{3\pi}{10}\right)=-\cos\frac{3\pi}{10}, \qquad \cos\frac{9\pi}{10}=\cos\left(\pi-\frac{\pi}{10}\right)=-\cos\frac{\pi}{10} $$

より

$$ \begin{aligned} \cos\frac{\pi}{10}\cos\frac{3\pi}{10}\cos\frac{7\pi}{10}\cos\frac{9\pi}{10} &= \cos^2\frac{\pi}{10}\cos^2\frac{3\pi}{10} \end{aligned} $$

となる。

ここで （1） より

$$ \cos5\theta=16\cos^5\theta-20\cos^3\theta+5\cos\theta $$

であるから、$\theta=\dfrac{\pi}{10},\ \dfrac{3\pi}{10}$ を代入すると、いずれも $\cos5\theta=0$ なので

$$ 16x^5-20x^3+5x=0 $$

の解として

$$ x=\cos\frac{\pi}{10},\ \cos\frac{3\pi}{10} $$

をもつ。

ただしこれらは $0$ ではないから、$t=x^2$ とおくと

$$ 16t^2-20t+5=0 $$

の解が

$$ t=\cos^2\frac{\pi}{10},\ \cos^2\frac{3\pi}{10} $$

である。

よって解と係数の関係から

$$ \cos^2\frac{\pi}{10}\cos^2\frac{3\pi}{10} =\frac{5}{16} $$

となる。したがって

$$ \cos\frac{\pi}{10}\cos\frac{3\pi}{10}\cos\frac{7\pi}{10}\cos\frac{9\pi}{10} =\frac{5}{16} $$

が示された。

解説

この問題の本質は、$5$ 倍角公式を単なる公式暗記で終わらせず、多項式として扱う点にある。

（2） では $\cos \dfrac{\pi}{10},\ \cos \dfrac{3\pi}{10}$ が $\cos5\theta=0$ を満たすことに着目すると、（1） で得た多項式の根として利用できる。さらに偶数次だけを取り出すために $t=x^2$ とおくことで、求めたい積が直接係数比較で出る。三角関数の値を個別に求めにいくより、はるかに整理された解法である。

答え

**(1)**

$$ f(x)=16x^5-20x^3+5x $$

**(2)**

$$ \begin{aligned} \cos\frac{\pi}{10}\cos\frac{3\pi}{10}\cos\frac{7\pi}{10}\cos\frac{9\pi}{10} &= \frac{5}{16} \end{aligned} $$