解説

方針・初手

与えられているのは正接の値なので、まず

$$ \sin \theta=\frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan^2\theta}} $$

を用いて （1） を処理する。

また、（2）, （3）, （4） は加法公式・差角公式

$$ \tan(x\pm y)=\frac{\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y} $$

と、$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ における $\tan\theta$ の単調増加性を使うのが基本である。

解法1

**(1)**

$\sin\alpha$ を求める。

$0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ であるから $\sin\alpha>0,\ \cos\alpha>0$ である。

したがって

$$ \sin\alpha=\frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}} $$

より、

$$ \sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{1+2^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5} $$

である。

**(2)**

$\tan(\alpha+\beta+\gamma)$ と $\alpha+\beta+\gamma$ を求める。

まず

$$ \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} =\frac{2+5}{1-2\cdot 5} =-\frac{7}{9} $$

である。

ここで $0<\alpha+\beta<\pi$ であり、しかも $\tan(\alpha+\beta)<0$ だから

$$ \frac{\pi}{2}<\alpha+\beta<\pi $$

である。

次に

$$ \tan(\alpha+\beta+\gamma) =\frac{\tan(\alpha+\beta)+\tan\gamma}{1-\tan(\alpha+\beta)\tan\gamma} $$

に代入すると、

$$ \begin{aligned} \tan(\alpha+\beta+\gamma) &= \frac{-\frac79+8}{1-\left(-\frac79\right)\cdot 8} \\ \frac{\frac{65}{9}}{\frac{65}{9}} =1 \end{aligned} $$

となる。

さらに

$$ \frac{\pi}{2}<\alpha+\beta<\pi,\qquad 0<\gamma<\frac{\pi}{2} $$

より

$$ \frac{\pi}{2}<\alpha+\beta+\gamma<\frac{3\pi}{2} $$

である。

$\tan x=1$ を満たす角は

$$ x=\frac{\pi}{4}+n\pi \qquad (n\in\mathbb{Z}) $$

であるが、このうち

$$ \frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2} $$

を満たすのは

$$ x=\frac{5\pi}{4} $$

のみである。

よって

$$ \tan(\alpha+\beta+\gamma)=1,\qquad \alpha+\beta+\gamma=\frac{5\pi}{4} $$

である。

**(3)**

$\beta-\alpha>\gamma-\beta$ を示す。

$\tan\alpha=2<5=\tan\beta<8=\tan\gamma$ であり、$\alpha,\beta,\gamma$ はすべて $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ にあるから

$$ 0<\alpha<\beta<\gamma<\frac{\pi}{2} $$

である。

したがって

$$ 0<\beta-\alpha<\frac{\pi}{2},\qquad 0<\gamma-\beta<\frac{\pi}{2} $$

となる。

ここで差角の公式より

$$ \tan(\beta-\alpha)=\frac{\tan\beta-\tan\alpha}{1+\tan\beta\tan\alpha} =\frac{5-2}{1+5\cdot 2} =\frac{3}{11} $$

であり、

$$ \tan(\gamma-\beta)=\frac{\tan\gamma-\tan\beta}{1+\tan\gamma\tan\beta} =\frac{8-5}{1+8\cdot 5} =\frac{3}{41} $$

である。

明らかに

$$ \frac{3}{11}>\frac{3}{41} $$

であるから、$\tan x$ が $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ で単調増加であることより

$$ \beta-\alpha>\gamma-\beta $$

が従う。

**(4)**

$\beta>\dfrac{5\pi}{12}$ を示す。

まず

$$ \tan\frac{5\pi}{12} =\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right) =\frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}} =2+\sqrt{3} $$

である。

ここで

$$ \tan\beta=5 $$

であり、

$$ 5>2+\sqrt{3} $$

だから

$$ \tan\beta>\tan\frac{5\pi}{12} $$

となる。

しかも

$$ 0<\beta<\frac{\pi}{2},\qquad 0<\frac{5\pi}{12}<\frac{\pi}{2} $$

であり、$\tan x$ はこの区間で単調増加であるから

$$ \beta>\frac{5\pi}{12} $$

が成り立つ。

解説

この問題の要点は、角そのものを直接扱うのではなく、正接の値を通して比較・計算することである。

（2） では $\tan(\alpha+\beta+\gamma)=1$ を求めたあと、ただちに $\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{4}$ とせず、角の範囲

$$ \frac{\pi}{2}<\alpha+\beta+\gamma<\frac{3\pi}{2} $$

を確認して値を確定することが重要である。

（3） は不等式をそのままいじるより、両辺の角差の正接を計算して比較するのが最も自然である。

（4） も同様に、角の大小比較を既知角 $\dfrac{5\pi}{12}$ の正接との比較に落とすと一瞬で処理できる。

答え

**(1)**

$$ \sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5} $$

**(2)**

$$ \tan(\alpha+\beta+\gamma)=1,\qquad \alpha+\beta+\gamma=\frac{5\pi}{4} $$

**(3)**

$$ \beta-\alpha>\gamma-\beta $$

**(4)**

$$ \beta>\frac{5\pi}{12} $$