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数学2 三角関数「三角関数」の問題71 解説

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数学2三角関数三角関数問題71

解説

$\tan \dfrac{\theta}{2}$ が与えられているので，半角の $t=\tan \dfrac{\theta}{2}$ を用いる公式

$$ \tan \theta=\frac{2t}{1-t^2},\qquad \sin \theta=\frac{2t}{1+t^2} $$

をそのまま使うのが最も速い。

$t=\tan \dfrac{\theta}{2}$ とおくと，条件より

$$ t=2 $$

である。

したがって，半角の公式より

$$ \tan \theta=\frac{2t}{1-t^2}=\frac{2\cdot 2}{1-2^2}=\frac{4}{1-4}=-\frac{4}{3} $$

となる。

また，

$$ \sin \theta=\frac{2t}{1+t^2}=\frac{2\cdot 2}{1+2^2}=\frac{4}{5} $$

である。

よって，

$$ \tan \theta=-\frac{4}{3},\qquad \sin \theta=\frac{4}{5} $$

となる。

$\tan \dfrac{\theta}{2}$ が与えられたときは，$\sin \theta,\cos \theta,\tan \theta$ を $t=\tan \dfrac{\theta}{2}$ で表す半角公式を使うのが基本である。

特に

$$ \sin \theta=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos \theta=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad \tan \theta=\frac{2t}{1-t^2} $$

は頻出である。今回も代入だけで求まる。

$\mathrm{ア}=-\dfrac{4}{3},\qquad \mathrm{イ}=\dfrac{4}{5}$ である。