解説

方針・初手

（1） は加法定理をそのまま展開して整理すればよい。

（2） は （1） に $\alpha=k\theta,\ \beta=\theta$ を代入すると，左辺が和をとったときに隣り合う項どうしで消える形になる。いわゆる望遠鏡型の和に持ち込むのが初手である。

（3） は $\cos^2 x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}$ を用いて （2） の結果に帰着する。

解法1

**(1)**

左辺を加法定理で展開する。

$$ \cos(\alpha+\beta)\sin\alpha =(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\sin\alpha =\sin\alpha\cos\alpha\cos\beta-\sin^2\alpha\sin\beta $$

また，

$$ \cos\alpha\sin(\alpha-\beta) =\cos\alpha(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta) =\sin\alpha\cos\alpha\cos\beta-\cos^2\alpha\sin\beta $$

したがって，

$$ \begin{aligned} &\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha-\cos\alpha\sin(\alpha-\beta)\\ &=\left(\sin\alpha\cos\alpha\cos\beta-\sin^2\alpha\sin\beta\right) -\left(\sin\alpha\cos\alpha\cos\beta-\cos^2\alpha\sin\beta\right)\\ &=(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)\sin\beta\\ &=\cos2\alpha\sin\beta \end{aligned} $$

よって示された。

**(2)**

（1） に $\alpha=k\theta,\ \beta=\theta$ を代入すると，

$$ \cos((k+1)\theta)\sin k\theta-\cos k\theta\sin((k-1)\theta) =\cos2k\theta\sin\theta $$

を得る。

これを $k=1,2,\dots,n$ について加えると，

$$ \begin{aligned} \sin\theta\sum_{k=1}^n\cos2k\theta &=\sum_{k=1}^n\left\{\cos((k+1)\theta)\sin k\theta-\cos k\theta\sin((k-1)\theta)\right\}\\ &=\cos2\theta\sin\theta-\cos\theta\sin0\\ &\quad+\cos3\theta\sin2\theta-\cos2\theta\sin\theta\\ &\quad+\cdots\\ &\quad+\cos(n+1)\theta\sin n\theta-\cos n\theta\sin(n-1)\theta\\ &=\cos(n+1)\theta\sin n\theta \end{aligned} $$

ここで途中の項はすべて打ち消し合う。また，$\sin\theta\neq0$ より両辺を $\sin\theta$ で割ることができるから，

$$ \sum_{k=1}^n\cos2k\theta =\frac{\cos(n+1)\theta\sin n\theta}{\sin\theta} $$

となる。

**(3)**

$$ \cos^2\frac{k\pi}{100}=\frac{1+\cos\frac{k\pi}{50}}{2} $$

より，

$$ \sum_{k=1}^{100}\cos^2\frac{k\pi}{100} =\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{100}\left(1+\cos\frac{k\pi}{50}\right) =50+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{100}\cos\frac{k\pi}{50} $$

ここで （2） において

$$ \theta=\frac{\pi}{100},\quad n=100 $$

とすると，

$$ \sum_{k=1}^{100}\cos\frac{k\pi}{50} =\sum_{k=1}^{100}\cos2k\theta =\frac{\cos\frac{101\pi}{100}\sin\pi}{\sin\frac{\pi}{100}} =0 $$

である。したがって，

$$ \sum_{k=1}^{100}\cos^2\frac{k\pi}{100}=50 $$

解説

この問題の中心は （2） の望遠鏡型の和である。（1） の恒等式を単独で終わらせず，$\alpha=k\theta,\ \beta=\theta$ と置くことで，隣り合う項が消える形に変形できる点が重要である。

（3） では $\cos^2x$ をそのまま扱わず，倍角公式

$$ \cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2} $$

に直すのが定石である。こうすると （2） の結果をそのまま使える。

答え

**(1)**

$$ \cos(\alpha+\beta)\sin\alpha-\cos\alpha\sin(\alpha-\beta)=\cos2\alpha\sin\beta $$

**(2)**

$$ \sum_{k=1}^n\cos2k\theta=\frac{\cos(n+1)\theta\sin n\theta}{\sin\theta} $$

**(3)**

$$ \sum_{k=1}^{100}\cos^2\frac{k\pi}{100}=50 $$