解説

方針・初手

定義

$$ \cos n\alpha=A_n(\cos\alpha),\qquad \sin n\alpha=(\sin\alpha),B_n(\cos\alpha) $$

をそのまま加法定理に代入していく。

（1） は $3\alpha=2\alpha+\alpha$ とみて加法定理を使えばよい。 （2） は $(n+1)\alpha=n\alpha+\alpha$ に対して同様に処理する。 （3） は （2） で得た漸化式に $t=1$ を代入して求めるのが最も簡潔である。

解法1

**(1)**

まず

$$ \cos 3\alpha=\cos(2\alpha+\alpha)=\cos2\alpha\cos\alpha-\sin2\alpha\sin\alpha $$

より，

$$ \cos 3\alpha=(2\cos^2\alpha-1)\cos\alpha-(2\sin\alpha\cos\alpha)\sin\alpha $$

である。ここで $\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$ を用いると，

$$ \cos 3\alpha =2\cos^3\alpha-\cos\alpha-2(1-\cos^2\alpha)\cos\alpha =4\cos^3\alpha-3\cos\alpha $$

となる。したがって

$$ A_3(t)=4t^3-3t $$

である。

次に

$$ \sin 3\alpha=\sin(2\alpha+\alpha)=\sin2\alpha\cos\alpha+\cos2\alpha\sin\alpha $$

より，

$$ \sin 3\alpha=(2\sin\alpha\cos\alpha)\cos\alpha+(2\cos^2\alpha-1)\sin\alpha $$

であるから，

$$ \sin 3\alpha =\sin\alpha,(2\cos^2\alpha+2\cos^2\alpha-1) =\sin\alpha,(4\cos^2\alpha-1) $$

となる。よって

$$ B_3(t)=4t^2-1 $$

である。

**(2)**

$t=\cos\alpha$ とおく。

加法定理より

$$ \cos (n+1)\alpha=\cos n\alpha\cos\alpha-\sin n\alpha\sin\alpha $$

である。定義を用いると

$$ \cos (n+1)\alpha=A_n(t),t-(\sin\alpha,B_n(t))\sin\alpha $$

となるので，

$$ \cos (n+1)\alpha=tA_n(t)-\sin^2\alpha,B_n(t) $$

である。さらに

$$ \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-t^2 $$

より，

$$ \cos (n+1)\alpha=tA_n(t)+(t^2-1)B_n(t) $$

となる。したがって

$$ A_{n+1}(t)=tA_n(t)+(t^2-1)B_n(t) $$

である。

また，

$$ \sin (n+1)\alpha=\sin n\alpha\cos\alpha+\cos n\alpha\sin\alpha $$

より，

$$ \sin (n+1)\alpha=(\sin\alpha,B_n(t)),t+A_n(t)\sin\alpha $$

であるから，

$$ \sin (n+1)\alpha=\sin\alpha{A_n(t)+tB_n(t)} $$

となる。よって

$$ B_{n+1}(t)=A_n(t)+tB_n(t) $$

である。

**(3)**

（2） の結果に $t=1$ を代入する。

まず

$$ A_{n+1}(1)=1\cdot A_n(1)+(1^2-1)B_n(1)=A_n(1) $$

であり，$A_1(1)=1$ だから，

$$ A_n(1)=1 $$

である。

次に

$$ B_{n+1}(1)=A_n(1)+1\cdot B_n(1)=1+B_n(1) $$

である。しかも $B_1(1)=1$ だから，

$$ B_n(1)=n $$

となる。

解説

この問題の本質は，$A_n(t),B_n(t)$ が三角関数の多倍角を $\cos\alpha=t$ の多項式として表したものだという点にある。したがって，加法定理

$$ \cos(n+1)\alpha,\qquad \sin(n+1)\alpha $$

を使えば，自然に $A_{n+1},B_{n+1}$ を $A_n,B_n$ で表せる。

特に $\cos(n+1)\alpha$ の式では $\sin^2\alpha=1-t^2$ への変形が必要である。ここを落とすと $t$ の多項式にならないので注意が必要である。

答え

**(1)**

$$ \boxed{A_3(t)=4t^3-3t},\qquad \boxed{B_3(t)=4t^2-1} $$

したがって

$$ \boxed{\text{[ア]}=4t^3-3t},\qquad \boxed{\text{[イ]}=4t^2-1} $$

**(2)**

$$ A_{n+1}(t)=tA_n(t)+(t^2-1)B_n(t),\qquad B_{n+1}(t)=A_n(t)+tB_n(t) $$

したがって

$$ \boxed{\text{[ウ]}=t},\qquad \boxed{\text{[エ]}=t^2-1},\qquad \boxed{\text{[オ]}=t} $$

**(3)**

$$ A_n(1)=1,\qquad B_n(1)=n $$

したがって

$$ \boxed{\text{[カ]}=1},\qquad \boxed{\text{[キ]}=n} $$