解説

方針・初手

条件 $(A)$ は $\tan(\alpha+2\beta)=2$ である。$\tan\alpha=\dfrac1p,\ \tan\beta=\dfrac1q$ が与えられているので、加法定理と倍角公式で $p,q$ の整数条件に落とし込む。

その際、まず $q=1$ は起こりえないことを確認しておく。

$q=1$ なら $\tan\beta=1$ なので、$\beta=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$ であり、

$$ 2\beta=\frac{\pi}{2}+2k\pi $$

となる。したがって

$$ \tan(\alpha+2\beta) =\tan\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right) =-\frac{1}{\tan\alpha} =-p $$

である。これは正の値 $2$ にはなりえないので、条件 $(A)$ に反する。

したがって以下では $q\neq 1$ としてよい。

解法1

$q\neq 1$ であるから、倍角公式より

$$ \tan 2\beta =\frac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta} =\frac{2/q}{1-1/q^2} =\frac{2q}{q^2-1} $$

である。

ここで

$$ t=\tan 2\beta=\frac{2q}{q^2-1} $$

とおくと、条件 $(A)$ は

$$ \tan(\alpha+2\beta) =\frac{\tan\alpha+\tan2\beta}{1-\tan\alpha\tan2\beta} =\frac{\frac1p+t}{1-\frac{t}{p}} =2 $$

である。これを整理すると

$$ \frac{1+pt}{p-t}=2 $$

より

$$ 1+pt=2p-2t $$

すなわち

$$ t(p+2)=2p-1 $$

を得る。$t=\dfrac{2q}{q^2-1}$ を代入して

$$ \frac{2q}{q^2-1}(p+2)=2p-1 $$

したがって

$$ 2q(p+2)=(2p-1)(q^2-1) $$

が成り立つ。

ここで $\gcd(q,q^2-1)=1$ であるから、上式の右辺が $q$ で割り切れることより

$$ q\mid (2p-1) $$

である。よって、ある自然数 $k$ を用いて

$$ 2p-1=kq $$

と書ける。

これを先ほどの式に代入すると

$$ k(q^2-1)=2(p+2) $$

であるが、$2p-1=kq$ なので

$$ 2(p+2)=2p+4=(2p-1)+5=kq+5 $$

となる。したがって

$$ k(q^2-1)=kq+5 $$

すなわち

$$ k(q^2-q-1)=5 $$

を得る。

ここで $k$ は自然数なので、$q^2-q-1$ は $5$ の正の約数である。したがって

$$ q^2-q-1=1 \quad \text{または} \quad q^2-q-1=5 $$

に限られる。

**(i)**

$q^2-q-1=1$ のとき

$$ q^2-q-2=0 $$

より $q=2$ である。このとき $k=5$ だから

$$ 2p-1=kq=10 $$

となるが、左辺は奇数、右辺は偶数で矛盾する。よって不適。

**(ii)**

$q^2-q-1=5$ のとき

$$ q^2-q-6=0 $$

より $q=3$ である。このとき $k=1$ だから

$$ 2p-1=kq=3 $$

となり、

$$ p=2 $$

を得る。

以上より、条件 $(A)$ を満たす自然数の組は

$$ (p,q)=(2,3) $$

のみである。

特に、$q\leqq 3$ のものはこれだけである。

また、$q>3$ なら

$$ q^2-q-1\geqq 4^2-4-1=11>5 $$

となり、

$$ k(q^2-q-1)=5 $$

を満たす自然数 $k$ は存在しない。したがって、条件 $(A)$ を満たす $(p,q)$ で $q>3$ であるものは存在しない。

解説

この問題の要点は、三角関数の条件をそのまま扱わず、加法定理・倍角公式で整数の方程式に変換することである。

特に

$$ 2q(p+2)=(2p-1)(q^2-1) $$

から、$\gcd(q,q^2-1)=1$ を用いて $q\mid (2p-1)$ を引き出すのが決定打である。これにより $2p-1=kq$ とおけ、最終的に

$$ k(q^2-q-1)=5 $$

という非常に強い制約になる。ここまで落とせれば、あとは $5$ の約数を調べるだけで終わる。

$q\leqq 3$ の場合分けを直接計算することもできるが、(2) まで一気に処理できるこの方法が自然である。

答え

$$ \text{(1)}\ (p,q)=(2,3) $$

$$ \text{(2)}\ 条件(A)を満たす自然数の組 (p,q) で q>3 であるものは存在しない。 $$