解説

方針・初手

絶対値が $|\sin^3\theta|$ と $|\sin\theta|$ に付いているので、まず $\sin\theta$ の符号で場合分けするのが自然である。

その前に、左辺は常に $0$ 以上であるから、右辺 $\cos^3\theta+\cos\theta$ も $0$ 以上でなければならないことに注意する。

解法1

与式は

$$ |\sin^3\theta|+|\sin\theta|=\cos^3\theta+\cos\theta $$

である。

まず左辺は明らかに $0$ 以上であるから、

$$ \cos^3\theta+\cos\theta \geqq 0 $$

である。ここで

$$ \cos^3\theta+\cos\theta=\cos\theta(\cos^2\theta+1) $$

であり、$\cos^2\theta+1>0$ であるから、

$$ \cos\theta \geqq 0 $$

が必要である。

次に、$\sin\theta$ の符号で場合分けする。

**(i)**

$\sin\theta \geqq 0$ のとき

このとき

$$ |\sin^3\theta|=\sin^3\theta,\qquad |\sin\theta|=\sin\theta $$

であるから、与式は

$$ \sin^3\theta+\sin\theta=\cos^3\theta+\cos\theta $$

となる。移項して因数分解すると、

$$ (\sin\theta-\cos\theta)\bigl(\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta+1\bigr)=0 $$

を得る。

ここで

$$ \sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta+1 =2+\sin\theta\cos\theta>0 $$

であるから、

$$ \sin\theta-\cos\theta=0 $$

すなわち

$$ \sin\theta=\cos\theta $$

となる。しかしこれは条件 $\sin\theta\neq\cos\theta$ に反する。したがって、この場合に解はない。

**(ii)**

$\sin\theta<0$ のとき

このとき

$$ |\sin^3\theta|=-\sin^3\theta,\qquad |\sin\theta|=-\sin\theta $$

であるから、与式は

$$ -\sin^3\theta-\sin\theta=\cos^3\theta+\cos\theta $$

となる。整理すると

$$ \sin^3\theta+\cos^3\theta+\sin\theta+\cos\theta=0 $$

であり、因数分解して

$$ (\sin\theta+\cos\theta)\bigl(\sin^2\theta-\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta+1\bigr)=0 $$

を得る。

ここで

$$ \sin^2\theta-\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta+1 =2-\sin\theta\cos\theta>0 $$

であるから、

$$ \sin\theta+\cos\theta=0 $$

すなわち

$$ \sin\theta=-\cos\theta $$

である。

これと

$$ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 $$

より

$$ 2\cos^2\theta=1 $$

となるので、

$$ \cos\theta=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} $$

である。

しかし先に $\cos\theta\geqq 0$ を得ているから、

$$ \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}},\qquad \sin\theta=-\frac{1}{\sqrt{2}} $$

である。よって

$$ \theta=\frac{7\pi}{4} $$

となる。

解説

この問題の要点は、絶対値を外すための符号判定と、右辺も $0$ 以上でなければならないことから $\cos\theta\geqq 0$ を先に押さえる点にある。

そのうえで $\sin\theta\geqq 0$ と $\sin\theta<0$ に分けると、それぞれ $\sin\theta=\cos\theta$、$\sin\theta=-\cos\theta$ に帰着する。前者は条件に反し、後者だけが残る。

答え

$$ \theta=\frac{7\pi}{4} $$