解説

方針・初手

$\sin \omega+\sqrt{3}\cos \omega$ を $r\sin(\omega+\alpha)$ に直すには、加法定理

$$ r\sin(\omega+\alpha)=r\sin\omega\cos\alpha+r\cos\omega\sin\alpha $$

を用いて、$\sin\omega$ と $\cos\omega$ の係数を比較すればよい。

解法1

$$ \sin \omega+\sqrt{3}\cos \omega=r\sin(\omega+\alpha) $$

とおくと、加法定理より

$$ r\sin(\omega+\alpha)=r\sin\omega\cos\alpha+r\cos\omega\sin\alpha $$

であるから、係数比較により

$$ r\cos\alpha=1,\qquad r\sin\alpha=\sqrt{3} $$

を得る。

したがって、

$$ r^2=(r\cos\alpha)^2+(r\sin\alpha)^2=1^2+(\sqrt{3})^2=4 $$

より

$$ r=2 $$

である。

さらに

$$ \cos\alpha=\frac{1}{2},\qquad \sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

となるので、$0\leqq \alpha<2\pi$ より

$$ \alpha=\frac{\pi}{3} $$

である。

よって

$$ \sin \omega+\sqrt{3}\cos \omega=2\sin\left(\omega+\frac{\pi}{3}\right) $$

となるから、方程式

$$ \sin \omega+\sqrt{3}\cos \omega=2 $$

は

$$ 2\sin\left(\omega+\frac{\pi}{3}\right)=2 $$

すなわち

$$ \sin\left(\omega+\frac{\pi}{3}\right)=1 $$

と同値である。

したがって

$$ \omega+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+2k\pi \qquad (k\in\mathbb{Z}) $$

より

$$ \omega=\frac{\pi}{6}+2k\pi $$

である。

このうち $0<\omega<\frac{\pi}{2}$ を満たすものは

$$ \omega=\frac{\pi}{6} $$

である。

解説

三角関数の合成では、$r\cos\alpha$ と $r\sin\alpha$ を元の係数に一致させるのが基本である。その後、$r$ は平方和から求まり、$\alpha$ は $\sin\alpha,\cos\alpha$ の値から決定する。

本問では右辺が $2$ で、合成後の振幅 $r$ も $2$ になるため、$\sin(\omega+\alpha)=1$ に落ちる。ここまで整理できれば解はすぐに求まる。

答え

$$ r=2,\qquad \alpha=\frac{\pi}{3},\qquad \omega=\frac{\pi}{6} $$