解説

方針・初手

$\cos x+\cos 3x$ を加法定理でまとめると，$\cos 2x$ を共通因子にもつ形にできる。 したがって，まず和積公式

$$ \cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2} $$

を用いて式を因数分解する。

解法1

与えられた方程式は

$$ \cos x+\cos 2x+\cos 3x=0 $$

である。

ここで $\cos x+\cos 3x$ に和積公式を用いると，

$$ \cos x+\cos 3x =2\cos \frac{x+3x}{2}\cos \frac{x-3x}{2} =2\cos 2x\cos(-x) =2\cos 2x\cos x $$

となる。よって元の方程式は

$$ 2\cos 2x\cos x+\cos 2x=0 $$

すなわち

$$ \cos 2x(2\cos x+1)=0 $$

となる。

したがって，

$$ \cos 2x=0 \quad \text{または} \quad 2\cos x+1=0 $$

である。

**(i)**

$\cos 2x=0$ のとき

$$ 2x=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},\ \frac{5\pi}{2},\ \frac{7\pi}{2} \quad (0\leqq x<2\pi) $$

より，

$$ x=\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4} $$

である。

**(ii)**

$2\cos x+1=0$ のとき

$$ \cos x=-\frac{1}{2} $$

より，

$$ x=\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3} $$

である。

以上より，求める $x$ は

$$ x=\frac{\pi}{4},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{7\pi}{4} $$

である。

解説

この問題の要点は，$\cos x+\cos 3x$ をひとまとめにして因数分解することである。 $\cos x,\cos 2x,\cos 3x$ が並んでいるとき，端の2つを和積公式でまとめると中央の $\cos 2x$ が現れやすい。

無理に $\cos 3x=4\cos^3x-3\cos x$ などへ変形して三次方程式に持ち込むこともできるが，計算が重くなる。ここでは和積公式による整理が最も自然である。

答え

$$ x=\frac{\pi}{4},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{7\pi}{4} \quad (0\leqq x<2\pi) $$