解説

方針・初手

$\cos^2\alpha$ と $\sin\alpha\cos\alpha$ は，いずれも $2\alpha$ の式に直せる。 したがって，倍角公式を用いて $f(\alpha)$ を $\sin 2\alpha,\cos 2\alpha$ の形にまとめ，三角関数の合成によって最大値を調べるのが自然である。

解法1

倍角公式

$$ \cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2},\qquad \sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}\sin 2\alpha $$

を用いると，

$$ f(\alpha)=\cos^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha}{2}+\frac{1}{2}\sin 2\alpha $$

となる。よって，

$$ f(\alpha)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(\cos 2\alpha+\sin 2\alpha\right) $$

である。

ここで，

$$ \cos 2\alpha+\sin 2\alpha =\sqrt{2}\sin\left(2\alpha+\frac{\pi}{4}\right) $$

より，

$$ f(\alpha)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\left(2\alpha+\frac{\pi}{4}\right) $$

と表せる。

$\sin$ の値は最大でも $1$ であるから，

$$ f(\alpha)\leqq \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{1+\sqrt{2}}{2} $$

である。

等号は

$$ \sin\left(2\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=1 $$

のときに成り立つ。したがって，

$$ 2\alpha+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi \quad (k\in\mathbb{Z}) $$

より，

$$ 2\alpha=\frac{\pi}{4}+2k\pi,\qquad \alpha=\frac{\pi}{8}+k\pi $$

を得る。

ただし $0\leqq \alpha\leqq \pi$ であるから，この範囲に入るのは

$$ \alpha=\frac{\pi}{8} $$

のみである。

よって，$f(\alpha)$ は

$$ \alpha=\frac{\pi}{8} $$

のとき最大値

$$ \frac{1+\sqrt{2}}{2} $$

をとる。

解説

この問題の要点は，$\cos^2\alpha$ や $\sin\alpha\cos\alpha$ をそのまま扱わず，倍角公式で $2\alpha$ の式に直すことである。 その後，$\sin 2\alpha+\cos 2\alpha$ を合成すれば，三角関数の最大値 $1$ をそのまま使える。

途中で $\alpha$ の範囲が $0\leqq \alpha\leqq \pi$ であることを忘れると，最大を与える $\alpha$ を取り違えやすいので注意が必要である。

答え

**②** $\displaystyle \frac{\pi}{8}$

**③** $\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{2}$