解説

方針・初手

積和公式と倍角公式を用いて、与えられた積を三角関数1つにまとめる。

前半は

$$ \sin A\sin B=\frac12{\cos(A-B)-\cos(A+B)} $$

を用いる。

後半は

$$ \sin x\cos x=\frac12\sin 2x $$

を繰り返し使って、$\cos \dfrac{\pi}{9}\cos \dfrac{2\pi}{9}\cos \dfrac{4\pi}{9}$ を求める。

解法1

まず、

$$ A=\frac{\pi}{3}-x,\qquad B=\frac{\pi}{3}+x $$

とおくと、積和公式より

$$ \sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right) =\frac12\left\{\cos(A-B)-\cos(A+B)\right\} $$

である。

ここで

$$ A-B=\left(\frac{\pi}{3}-x\right)-\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=-2x, \qquad A+B=\frac{2\pi}{3} $$

より、

$$ \cos(A-B)=\cos(-2x)=\cos 2x,\qquad \cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12 $$

だから、

$$ \sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right) =\frac12\left(\cos 2x+\frac12\right) $$

となる。したがって （1） は $2$、（2） は $\dfrac12$ である。

次に両辺に $\sin x$ を掛けると、

$$ \sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right) =\frac12\left(\cos 2x+\frac12\right)\sin x $$

右辺を整理する。

$$ \frac12\left(\cos 2x+\frac12\right)\sin x =\frac14(2\cos 2x+1)\sin x $$

ここで三倍角公式

$$ \sin 3x=(1+2\cos 2x)\sin x $$

を用いると、

$$ \sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right) =\frac14\sin 3x $$

となる。よって （3） は $\dfrac14$、（4） は $3$ である。

ここで $x=\dfrac{\pi}{9}$ を代入すると、

$$ \sin\frac{2\pi}{9}\sin\frac{\pi}{9}\sin\frac{4\pi}{9} =\frac14\sin\frac{\pi}{3} =\frac14\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\frac{\sqrt3}{8} $$

ゆえに （5） は $\dfrac{\sqrt3}{8}$ である。

次に、倍角公式より

$$ \sin x\cos x=\frac12\sin 2x $$

であるから、（6） は $\dfrac12$、（7） は $2$ である。

この式を順に用いると、

$$ \sin x\cos x\cos 2x\cos 4x =\frac12\sin 2x\cos 2x\cos 4x =\frac14\sin 4x\cos 4x =\frac18\sin 8x $$

となる。

したがって、

$$ \cos x\cos 2x\cos 4x=\frac{\sin 8x}{8\sin x} $$

である。ここで $x=\dfrac{\pi}{9}$ を代入すると、

$$ \cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9} =\frac{\sin\frac{8\pi}{9}}{8\sin\frac{\pi}{9}} $$

さらに

$$ \sin\frac{8\pi}{9}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{9}\right)=\sin\frac{\pi}{9} $$

より、

$$ \cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9} =\frac18 $$

となる。よって （8） は $\dfrac18$ である。

解説

前半の要点は、$\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)$ をそのまま扱わず、積和公式で $\cos 2x$ を含む形に直すことである。そのあと $\sin x$ を掛けると、三倍角公式 $\sin 3x=(1+2\cos 2x)\sin x$ にぴったりつながる。

後半の要点は、$\sin x\cos x=\dfrac12\sin 2x$ を繰り返して角を2倍、4倍、8倍へと進めることである。この型は

$$ \cos x\cos 2x\cos 4x=\frac{\sin 8x}{8\sin x} $$

という基本形としてよく現れる。

答え

**(1)**

$2$

**(2)**

$\dfrac12$

**(3)**

$\dfrac14$

**(4)**

$3$

**(5)**

$\dfrac{\sqrt3}{8}$

**(6)**

$\dfrac12$

**(7)**

$2$

**(8)**

$\dfrac18$