解説

方針・初手

$\cos(kx)\sin \dfrac{x}{2}$ を積和公式で変形すると、隣り合う項が打ち消し合う形になる。したがって、和を望ましい形に整理できる。

解法1

積和公式

$$ \sin A\cos B=\frac{1}{2}{\sin(A+B)+\sin(A-B)} $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} \cos(kx)\sin \frac{x}{2} &= \frac{1}{2}\left\{\sin\left(kx+\frac{x}{2}\right)+\sin\left(\frac{x}{2}-kx\right)\right\} \end{aligned} $$

である。ここで $\sin\left(\dfrac{x}{2}-kx\right)=-\sin\left(kx-\dfrac{x}{2}\right)$ だから、

$$ \begin{aligned} \cos(kx)\sin \frac{x}{2} &= \frac{1}{2}\left\{\sin\left(k+\frac{1}{2}\right)x-\sin\left(k-\frac{1}{2}\right)x\right\} \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\cos(kx)\sin\frac{x}{2} &= \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \left\{ \sin\left(k+\frac{1}{2}\right)x-\sin\left(k-\frac{1}{2}\right)x \right\} \end{aligned} $$

であり、これは望ましく消去して

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\cos(kx)\sin\frac{x}{2} &= \frac{1}{2}\left\{ \sin\frac{3x}{2}-\sin\frac{x}{2} +\sin\frac{5x}{2}-\sin\frac{3x}{2} +\cdots +\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)x-\sin\left(n-\frac{1}{2}\right)x \right\}\\ &= \frac{1}{2}\left\{ \sin\left(n+\frac{1}{2}\right)x-\sin\frac{x}{2} \right\} \end{aligned} $$

となる。

よって左辺全体は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}\sin\frac{x}{2} + \sum_{k=1}^{n}\cos(kx)\sin\frac{x}{2} &= \frac{1}{2}\sin\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\left\{ \sin\left(n+\frac{1}{2}\right)x-\sin\frac{x}{2} \right\}\\ &= \frac{1}{2}\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)x \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の要点は、$\cos(kx)\sin \dfrac{x}{2}$ をそのまま扱わず、積和公式で「前の項と次の項が打ち消し合う差」の形に直すことである。こうすると和が telescoping sum となり、最後の1項だけが残る。

答え

$$ \boxed{\left(n+\frac{1}{2}\right)x} $$

すなわち

$$ \frac{1}{2}\sin\left(\frac{(2n+1)x}{2}\right) $$

である。