解説

方針・初手

$f(\theta)=\sin 2\theta-\sqrt{3}\cos 2\theta$ を合成して，1つの三角関数に直す。すると，区間内での最大値・最小値は，対応する三角関数の増減からすぐに判定できる。

解法1

$ x=2\theta $ とおくと，

$$ f(\theta)=\sin x-\sqrt{3}\cos x $$

である。これを合成すると，

$$ \sin x-\sqrt{3}\cos x =2\left(\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) =2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) $$

となる。したがって，

$$ f(\theta)=2\sin\left(2\theta-\frac{\pi}{3}\right) $$

である。

次に，$\theta$ の範囲

$$ \frac{\pi}{3}\leqq \theta \leqq \frac{7\pi}{12} $$

から，

$$ \frac{2\pi}{3}\leqq 2\theta \leqq \frac{7\pi}{6} $$

よって，

$$ \frac{\pi}{3}\leqq 2\theta-\frac{\pi}{3}\leqq \frac{5\pi}{6} $$

となる。

そこで，

$$ \phi=2\theta-\frac{\pi}{3} $$

とおくと，$\phi$ は

$$ \frac{\pi}{3}\leqq \phi \leqq \frac{5\pi}{6} $$

を動き，

$$ f(\theta)=2\sin\phi $$

である。

この区間で $\sin\phi$ は $\phi=\dfrac{\pi}{2}$ のとき最大値 $1$ をとるから，

$$ f(\theta)_{\max}=2 $$

である。

また，$\phi\in\left[\dfrac{\pi}{3},\dfrac{5\pi}{6}\right]$ における $\sin\phi$ の最小値は端点 $\phi=\dfrac{5\pi}{6}$ のときの

$$ \sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2} $$

であるから，

$$ f(\theta)_{\min}=2\cdot \frac{1}{2}=1 $$

である。

解説

$\sin x+a\cos x$ 型は，$R\sin(x-\alpha)$ または $R\cos(x-\beta)$ に合成するのが基本である。この問題では合成したあと，角の動く範囲を正確に追えば，最大・最小は三角関数のグラフの性質だけで判断できる。

特に，$\theta$ の範囲をそのまま使わず，まず $2\theta$ の範囲に直してから考えることが重要である。

答え

最大値は $2$，最小値は $1$ である。