解説

方針・初手

条件は $x+y$ のみに依存するので，まず不等式を $x+y$ の範囲に直す。

すると $D$ は正方形 $0\le x\le \pi,\ 0\le y\le \pi$ を，2本の直線 $x+y=\text{定数}$ で切った部分として表せる。

そのうえで，$2x+y$ は一次式であるから，凸多角形 $D$ 上での最大値・最小値は頂点で調べればよい。

解法1

与えられた不等式は

$$ 2\sin(x+y)-2\cos(x+y)\ge \sqrt{2} $$

である。ここで

$$ \sin\theta-\cos\theta=\sqrt{2}\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) $$

を用いると，

$$ 2\sqrt{2}\sin\left(x+y-\frac{\pi}{4}\right)\ge \sqrt{2} $$

すなわち

$$ \sin\left(x+y-\frac{\pi}{4}\right)\ge \frac{1}{2} $$

となる。

また，$0\le x\le \pi,\ 0\le y\le \pi$ より

$$ 0\le x+y\le 2\pi $$

であるから，

$$ -\frac{\pi}{4}\le x+y-\frac{\pi}{4}\le \frac{7\pi}{4} $$

の範囲で

$$ \sin u\ge \frac{1}{2} $$

を満たすのは

$$ \frac{\pi}{6}\le u\le \frac{5\pi}{6} $$

である。したがって

$$ \frac{5\pi}{12}\le x+y\le \frac{13\pi}{12} $$

を得る。

よって領域 $D$ は，正方形 $0\le x\le \pi,\ 0\le y\le \pi$ のうち，2直線

$$ x+y=\frac{5\pi}{12},\qquad x+y=\frac{13\pi}{12} $$

にはさまれた部分である。

各辺との交点を求めると，

• $x+y=\dfrac{5\pi}{12}$ は $\left(0,\dfrac{5\pi}{12}\right)$，$\left(\dfrac{5\pi}{12},0\right)$ を通る。
• $x+y=\dfrac{13\pi}{12}$ は $\left(\dfrac{\pi}{12},\pi\right)$，$\left(\pi,\dfrac{\pi}{12}\right)$ を通る。

したがって $D$ は，反時計回りに

$$ \left(0,\frac{5\pi}{12}\right),\ (0,\pi),\ \left(\frac{\pi}{12},\pi\right),\ \left(\pi,\frac{\pi}{12}\right),\ (\pi,0),\ \left(\frac{5\pi}{12},0\right) $$

を頂点にもつ六角形である。

次に $2x+y$ の最大値・最小値を求める。$2x+y$ は一次式であり，$D$ は凸多角形であるから，最大値・最小値は頂点で生じる。各頂点での値を調べると，

$$ \begin{aligned} 2\cdot 0+\frac{5\pi}{12}&=\frac{5\pi}{12},\\ 2\cdot 0+\pi&=\pi,\\ 2\cdot \frac{\pi}{12}+\pi&=\frac{7\pi}{6},\\ 2\pi+\frac{\pi}{12}&=\frac{25\pi}{12},\\ 2\pi+0&=2\pi,\\ 2\cdot \frac{5\pi}{12}+0&=\frac{5\pi}{6}. \end{aligned} $$

よって

$$ \min(2x+y)=\frac{5\pi}{12},\qquad \max(2x+y)=\frac{25\pi}{12} $$

である。

最小値は $\left(0,\dfrac{5\pi}{12}\right)$ で，最大値は $\left(\pi,\dfrac{\pi}{12}\right)$ でとる。

解説

不等式が $x+y$ のみで決まるので，領域は正方形の中の帯状部分になる。この見通しが立てば，図示はほぼ終わりである。

また，一次式の最大・最小を凸多角形上で求める問題では，頂点を調べれば十分である。したがって，図形を正確に把握することがそのまま最適値の計算につながる。

答え

**(1)**

$$ D=\left\{(x,y),\middle|,0\le x\le \pi,\ 0\le y\le \pi,\ \frac{5\pi}{12}\le x+y\le \frac{13\pi}{12}\right\} $$

であり，頂点

$$ \left(0,\frac{5\pi}{12}\right),\ (0,\pi),\ \left(\frac{\pi}{12},\pi\right),\ \left(\pi,\frac{\pi}{12}\right),\ (\pi,0),\ \left(\frac{5\pi}{12},0\right) $$

をもつ六角形である。

**(2)**

$$ \min(2x+y)=\frac{5\pi}{12},\qquad \max(2x+y)=\frac{25\pi}{12} $$

である。