解説

方針・初手

$d=\cos^2\theta$ とおくので、

$$ \tan^2\theta=\frac{1-\cos^2\theta}{\cos^2\theta} =\frac{1-d}{d} $$

を使って、三倍角公式と加法定理の式を $d$ で表す。

解法1

**(1)**

$t=\tan\theta$ とおく。三倍角公式より

$$ \tan3\theta=\frac{3t-t^3}{1-3t^2} $$

であるから、

$$ \frac{\tan3\theta}{\tan\theta} =\frac{3-t^2}{1-3t^2} $$

となる。

ここで

$$ t^2=\tan^2\theta=\frac{1-d}{d} $$

を代入すると、

$$ \frac{\tan3\theta}{\tan\theta} = \frac{3-\frac{1-d}{d}}{1-3\frac{1-d}{d}} = \frac{\frac{4d-1}{d}}{\frac{4d-3}{d}} = \frac{4d-1}{4d-3} $$

である。なお $\theta\ne30^\circ$ より $4d-3\ne0$ である。

**(2)**

加法定理より

$$ \tan(60^\circ+\theta) =\frac{\sqrt3+\tan\theta}{1-\sqrt3\tan\theta}, \qquad \tan(60^\circ-\theta) =\frac{\sqrt3-\tan\theta}{1+\sqrt3\tan\theta} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \tan(60^\circ+\theta)\tan(60^\circ-\theta) &= \frac{(\sqrt3+\tan\theta)(\sqrt3-\tan\theta)} {(1-\sqrt3\tan\theta)(1+\sqrt3\tan\theta)}\\ &= \frac{3-\tan^2\theta}{1-3\tan^2\theta}. \end{aligned} $$

ここに $\tan^2\theta=\dfrac{1-d}{d}$ を代入すると、

$$ \tan(60^\circ+\theta)\tan(60^\circ-\theta) =\frac{4d-1}{4d-3} $$

となる。

**(3)**

$\theta=20^\circ$ とする。

(1) より

$$ \frac{\tan60^\circ}{\tan20^\circ} =\frac{4d-1}{4d-3} $$

であり、(2) より同じ値は

$$ \tan80^\circ\tan40^\circ $$

に等しい。したがって

$$ \tan40^\circ\tan80^\circ =\frac{\tan60^\circ}{\tan20^\circ} $$

である。

両辺に $\tan20^\circ$ をかけると、

$$ \tan20^\circ\tan40^\circ\tan80^\circ =\tan60^\circ =\sqrt3 $$

となる。

解説

$d=\cos^2\theta$ が与えられているので、まず $\tan^2\theta=\dfrac{1-d}{d}$ に直すのが要点である。

(1) の三倍角、(2) の $60^\circ\pm\theta$ の加法定理のどちらも

$$ \frac{3-\tan^2\theta}{1-3\tan^2\theta} $$

という同じ形に帰着する。最後に $\theta=20^\circ$ とすれば、$3\theta=60^\circ$ と $60^\circ\pm\theta=80^\circ,40^\circ$ がつながり、積が一気に求まる。

答え

**(1)**

$$ \frac{\tan3\theta}{\tan\theta} =\frac{4d-1}{4d-3} $$

**(2)**

$$ \tan(60^\circ+\theta)\tan(60^\circ-\theta) =\frac{4d-1}{4d-3} $$

**(3)**

$$ \tan20^\circ\cdot\tan40^\circ\cdot\tan80^\circ =\sqrt3 $$