解説

方針・初手

（1） は半角の正接 $m=\tan \dfrac{x}{2}$ を用いて、$\sin x,\cos x$ を $\tan \dfrac{x}{2}$ で表すだけである。$\sin x=2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}$、$\cos x=\cos^2 \dfrac{x}{2}-\sin^2 \dfrac{x}{2}$ を出発点にする。

（2） は （1） の結果をそのまま代入し、$m=\tan \dfrac{x}{2}$ による不等式に直すのが最短である。あとは $x$ の範囲から $m$ の範囲を正確に押さえて因数分解する。

解法1

**(1)**

$m=\tan \dfrac{x}{2}$ とする。すると

$$ \tan \frac{x}{2}=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}=m $$

であるから、$\cos \dfrac{x}{2}\neq 0$ であり、

$$ \sin \frac{x}{2}=m\cos \frac{x}{2} $$

が成り立つ。

まず $\sin x$ について、

$$ \sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} =2m\cos^2 \frac{x}{2} $$

である。また

$$ 1+\tan^2 \frac{x}{2}=\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} $$

より

$$ \cos^2 \frac{x}{2}=\frac{1}{1+m^2} $$

となる。したがって

$$ \sin x=2m\cdot \frac{1}{1+m^2} =\frac{2m}{1+m^2} $$

を得る。

次に $\cos x$ について、

$$ \cos x=\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2} =\cos^2 \frac{x}{2}-m^2\cos^2 \frac{x}{2} =(1-m^2)\cos^2 \frac{x}{2} $$

であるから、

$$ \cos x=(1-m^2)\cdot \frac{1}{1+m^2} =\frac{1-m^2}{1+m^2} $$

となる。

以上より、

$$ \sin x=\frac{2m}{1+m^2},\qquad \cos x=\frac{1-m^2}{1+m^2} $$

が成り立つ。

**(2)**

$m=\tan \dfrac{x}{2}$ とおく。条件 $-\pi<x<\dfrac{\pi}{2}$ から

$$ -\frac{\pi}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\pi}{4} $$

である。$\tan \theta$ は区間 $\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{4}\right)$ で単調増加するので、

$$ -\infty<m<1 $$

が成り立つ。

ここで （1） の結果を用いると、

$$ \sin x+\cos x =\frac{2m}{1+m^2}+\frac{1-m^2}{1+m^2} =\frac{1+2m-m^2}{1+m^2} $$

である。示すべき不等式

$$ \sin x+\cos x\geqq \tan \frac{x}{2} $$

は

$$ \frac{1+2m-m^2}{1+m^2}\geqq m $$

に同値である。

$1+m^2>0$ であるから両辺に $1+m^2$ を掛けると、

$$ 1+2m-m^2\geqq m(1+m^2) $$

すなわち

$$ 1+m-m^2-m^3\geqq 0 $$

を得る。左辺を因数分解すると、

$$ 1+m-m^2-m^3=(1-m)(1+m)^2 $$

である。したがって示すべき不等式は

$$ (1-m)(1+m)^2\geqq 0 $$

となる。

ここで $m<1$ より $1-m>0$ であり、また $(1+m)^2\geqq 0$ であるから、

$$ (1-m)(1+m)^2\geqq 0 $$

が確かに成り立つ。よって

$$ \sin x+\cos x\geqq \tan \frac{x}{2} $$

が示された。

なお、等号は $(1+m)^2=0$、すなわち $m=-1$ のときに成り立つ。これは

$$ \tan \frac{x}{2}=-1 $$

より $x=-\dfrac{\pi}{2}$ に対応する。

解説

この問題の要点は、$\tan \dfrac{x}{2}$ を新しい文字 $m$ とおくことで、三角関数の式を有理式に変換することである。これは半角の正接による標準的な処理であり、$\sin x,\cos x$ を同時に整理できる。

（2） では、式変形そのものよりも $x$ の範囲から $m$ の範囲を正しく求めることが重要である。ここを曖昧にすると、最後の符号判定に根拠がなくなる。$m<1$ を用いることで、因数分解後の $(1-m)(1+m)^2$ の符号がすぐに決まる。

答え

**(1)**

$$ \sin x=\frac{2m}{1+m^2},\qquad \cos x=\frac{1-m^2}{1+m^2} $$

**(2)**

$m=\tan \dfrac{x}{2}$ とおくと $-\infty<m<1$ であり、

$$ \sin x+\cos x-\tan \frac{x}{2} =\frac{(1-m)(1+m)^2}{1+m^2}\geqq 0 $$

となる。したがって

$$ \sin x+\cos x\geqq \tan \frac{x}{2} $$

が成り立つ。等号成立は $x=-\dfrac{\pi}{2}$ である。