解説

方針・初手

左辺と右辺を直接比較するより，差をとって因数分解するのが自然である。

$$ \sin 3x-\sin x\geqq 0 $$

を，加法定理から得られる公式

$$ \sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} $$

で処理する。

解法1

与えられた不等式は

$$ \sin 3x-\sin x\geqq 0 $$

と書ける。ここで差積の公式を用いると，

$$ \sin 3x-\sin x =2\cos\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2} =2\cos 2x\sin x $$

である。したがって，不等式は

$$ 2\sin x\cos 2x\geqq 0 $$

すなわち

$$ \sin x\cos 2x\geqq 0 $$

となる。

ここで，$\sin x$ と $\cos 2x$ の符号を調べる。

まず，$0\leqq x<2\pi$ において，

$$ \sin x\geqq 0 \iff 0\leqq x\leqq \pi, \qquad \sin x\leqq 0 \iff \pi\leqq x<2\pi $$

である。

次に，$\cos 2x$ については，

$$ \cos 2x\geqq 0 \iff x\in \left[0,\frac{\pi}{4}\right]\cup \left[\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right]\cup \left[\frac{7\pi}{4},2\pi\right), $$

$$ \cos 2x\leqq 0 \iff x\in \left[\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right]\cup \left[\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right] $$

である。

積 $\sin x\cos 2x$ が $0$ 以上になるのは，2つが同符号であるか，どちらかが $0$ のときである。

**(i)**

$0\leqq x\leqq \pi$ のときは $\sin x\geqq 0$ なので，$\cos 2x\geqq 0$ が必要である。よって，

$$ x\in \left[0,\frac{\pi}{4}\right]\cup \left[\frac{3\pi}{4},\pi\right] $$

となる。

**(ii)**

$\pi\leqq x<2\pi$ のときは $\sin x\leqq 0$ なので，$\cos 2x\leqq 0$ が必要である。よって，

$$ x\in \left[\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right] $$

となる。

以上より，求める範囲は

$$ x\in \left[0,\frac{\pi}{4}\right]\cup \left[\frac{3\pi}{4},\pi\right]\cup \left[\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right] $$

である。

解説

$\sin 3x\geqq \sin x$ のような三角不等式では，まず差をとって積に直すのが基本である。今回は

$$ \sin 3x-\sin x=2\sin x\cos 2x $$

となるため，あとは $\sin x$ と $\cos 2x$ の符号判定に帰着する。

三角関数の不等式では，方程式のように変形して終わりではなく，最後に各因子の符号を区間ごとに整理することが重要である。

答え

$$ x\in \left[0,\frac{\pi}{4}\right]\cup \left[\frac{3\pi}{4},\pi\right]\cup \left[\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right] $$