解説

方針・初手

(1)(a) は差積公式を加法定理から導く。

(1)(b) は $\sin2\theta=\sin3\theta$ を

$$ \sin3\theta-\sin2\theta=0 $$

として、(1)(a) の公式を使う。

(2) は $\theta=36^\circ$ から $\cos\theta$ の方程式を作り、(3) は

$$ \sin6^\circ\sin54^\circ\sin66^\circ =\sin x\sin(60^\circ-x)\sin(60^\circ+x) $$

に $x=6^\circ$ を入れて求める。

解法1

**(1)(a)**

$$ x=\frac{\alpha+\beta}{2},\qquad y=\frac{\alpha-\beta}{2} $$

とおくと、$\alpha=x+y,\ \beta=x-y$ である。よって加法定理より

$$ \begin{aligned} \sin\alpha-\sin\beta &=\sin(x+y)-\sin(x-y)\\ &=(\sin x\cos y+\cos x\sin y) -(\sin x\cos y-\cos x\sin y)\\ &=2\cos x\sin y. \end{aligned} $$

したがって

$$ \sin\alpha-\sin\beta =2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $$

である。

**(1)(b)**

$$ \sin2\theta=\sin3\theta $$

より

$$ \sin3\theta-\sin2\theta=0 $$

である。(1)(a) を $\alpha=3\theta,\ \beta=2\theta$ に適用すると

$$ 2\cos\frac{5\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}=0 $$

となる。

$0^\circ<\theta<90^\circ$ より $\sin\dfrac{\theta}{2}\ne0$ だから

$$ \cos\frac{5\theta}{2}=0 $$

である。さらに

$$ 0^\circ<\frac{5\theta}{2}<225^\circ $$

なので、可能なのは

$$ \frac{5\theta}{2}=90^\circ $$

のみである。よって

$$ \theta=36^\circ $$

となる。

**(2)**

$x=\cos\theta$ とおく。(1)(b) より $\theta=36^\circ$ であり、

$$ 3\theta=108^\circ=180^\circ-72^\circ=180^\circ-2\theta $$

だから

$$ \cos3\theta=-\cos2\theta $$

である。三倍角・二倍角の公式より

$$ 4x^3-3x=-(2x^2-1) $$

すなわち

$$ 4x^3+2x^2-3x-1=0 $$

となる。因数分解すると

$$ (x+1)(4x^2-2x-1)=0 $$

である。$\theta$ は鋭角なので $x>0$ であり、

$$ 4x^2-2x-1=0 $$

を解いて

$$ x=\frac{1+\sqrt5}{4} $$

を得る。したがって

$$ \cos\theta=\frac{1+\sqrt5}{4} $$

である。

**(3)**

$x=6^\circ$ とおくと、求める積は

$$ \sin x\sin(60^\circ-x)\sin(60^\circ+x) $$

である。

積和公式より

$$ 2\sin(60^\circ-x)\sin(60^\circ+x) =\cos2x-\cos120^\circ =\cos2x+\frac12 $$

だから

$$ \begin{aligned} 4\sin x\sin(60^\circ-x)\sin(60^\circ+x) &=2\sin x\left(\cos2x+\frac12\right)\\ &=2\sin x\cos2x+\sin x. \end{aligned} $$

また

$$ 2\sin x\cos2x=\sin3x-\sin x $$

なので

$$ 4\sin x\sin(60^\circ-x)\sin(60^\circ+x)=\sin3x $$

である。$x=6^\circ$ を代入して

$$ \sin6^\circ\sin54^\circ\sin66^\circ =\frac14\sin18^\circ $$

となる。

さらに

$$ \sin18^\circ=\cos72^\circ =2\cos^236^\circ-1 $$

であり、(2) より

$$ \cos72^\circ =2\left(\frac{1+\sqrt5}{4}\right)^2-1 =\frac{\sqrt5-1}{4} $$

だから

$$ \sin6^\circ\sin54^\circ\sin66^\circ =\frac{\sqrt5-1}{16} $$

である。

解説

この問題の核は、和や差を積の形へ直すことである。(1)(a) の差積公式を使うと、(1)(b) は零積の形になる。

(2) では $\theta=36^\circ$ を用いて $\cos3\theta=-\cos2\theta$ という方程式を作る。(3) では $6^\circ,54^\circ,66^\circ$ を $x,60^\circ-x,60^\circ+x$ と見れば、3つの積が $\sin3x$ にまとまる。

答え

**(1)(a)**

$$ \sin\alpha-\sin\beta =2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $$

**(1)(b)**

$$ \theta=36^\circ $$

**(2)**

$$ \cos\theta=\frac{1+\sqrt5}{4} $$

**(3)**

$$ \sin6^\circ\sin54^\circ\sin66^\circ =\frac{\sqrt5-1}{16} $$