解説

方針・初手

与えられた差積公式を用いて，$\sin x=\sin y$ や $\cos s=\cos t$ を積が $0$ になる形に直す。すると，三角関数の等式が一次式の条件に帰着する。

（2） は （1） の結果をそのまま適用すればよく，（3） はまず $\cos s=\cos t$ から $s,t$ の関係を決め，その後 $\sin5s=\sin5t$ を処理する。

解法1

**(1)**

与えられた公式より，

$$ \sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $$

である。$\sin x=\sin y$ のとき左辺は $0$ であるから，

$$ 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}=0 $$

したがって，

$$ \cos\frac{x+y}{2}=0 \quad\text{または}\quad \sin\frac{x-y}{2}=0 $$

が成り立つ。

まず，

$$ \sin\frac{x-y}{2}=0 $$

より，

$$ \frac{x-y}{2}=n\pi \quad (n\in\mathbb{Z}) $$

すなわち，

$$ y=x-2n\pi $$

である。$n$ は任意の整数であるから，これは

$$ y=x+2n\pi \quad (n\in\mathbb{Z}) $$

と書いてよい。

次に，

$$ \cos\frac{x+y}{2}=0 $$

より，

$$ \frac{x+y}{2}=\frac{\pi}{2}+n\pi \quad (n\in\mathbb{Z}) $$

したがって，

$$ y=\pi-x+2n\pi \quad (n\in\mathbb{Z}) $$

となる。

よって，

$$ y=x+2n\pi \quad\text{または}\quad y=\pi-x+2n\pi \qquad (n\in\mathbb{Z}) $$

である。

**(2)**

$\sin2s=\sin(3s+1)$ に （1） の結果を適用する。

よって，

$$ 3s+1=2s+2n\pi \quad\text{または}\quad 3s+1=\pi-2s+2n\pi \qquad (n\in\mathbb{Z}) $$

である。

前者から，

$$ s=2n\pi-1 $$

を得る。$0\leqq s<2\pi$ より，これは $n=1$ のときだけ許され，

$$ s=2\pi-1 $$

である。

後者から，

$$ 5s=\pi-1+2n\pi $$

したがって，

$$ s=\frac{\pi-1+2n\pi}{5} $$

となる。ここで $0\leqq s<2\pi$ より，$n=0,1,2,3,4$ が許される。

以上より，求める $s$ は

$$ s=2\pi-1,\ \frac{\pi-1}{5},\ \frac{3\pi-1}{5},\ \frac{5\pi-1}{5},\ \frac{7\pi-1}{5},\ \frac{9\pi-1}{5} $$

である。

**(3)**

まず $\cos s=\cos t$ を用いる。与えられた公式より，

$$ \cos s-\cos t=-2\sin\frac{s+t}{2}\sin\frac{s-t}{2} $$

であるから，

$$ -2\sin\frac{s+t}{2}\sin\frac{s-t}{2}=0 $$

すなわち，

$$ \sin\frac{s+t}{2}=0 \quad\text{または}\quad \sin\frac{s-t}{2}=0 $$

である。

ここで $0\leqq s<t<2\pi$ だから，

$$ -\pi<\frac{s-t}{2}<0 $$

であり，この範囲で $\sin\frac{s-t}{2}=0$ となるのは $\frac{s-t}{2}=0$ のときだけであるが，これは $s=t$ となって条件に反する。したがって，

$$ \sin\frac{s-t}{2}=0 $$

は不可能である。

よって，

$$ \sin\frac{s+t}{2}=0 $$

でなければならない。さらに $0\leqq s<t<2\pi$ より $0<s+t<4\pi$ であるから，

$$ \frac{s+t}{2}=\pi $$

すなわち，

$$ s+t=2\pi $$

を得る。したがって，

$$ t=2\pi-s $$

である。

これを $\sin5s=\sin5t$ に代入すると，

$$ \sin5s=\sin(10\pi-5s) $$

となる。ところが，

$$ \sin(10\pi-5s)=-\sin5s $$

であるから，

$$ \sin5s=-\sin5s $$

すなわち，

$$ \sin5s=0 $$

となる。よって，

$$ 5s=n\pi \quad (n\in\mathbb{Z}) $$

すなわち，

$$ s=\frac{n\pi}{5} $$

である。

また $s<t$ かつ $s+t=2\pi$ より $s<\pi$ であるから，$n=0,1,2,3,4$ が候補である。しかし $n=0$ だと $s=0,\ t=2\pi$ となり，$t<2\pi$ に反するので不適である。

したがって，

$$ n=1,2,3,4 $$

であり，

$$ (s,t)=\left(\frac{\pi}{5},\frac{9\pi}{5}\right),\ \left(\frac{2\pi}{5},\frac{8\pi}{5}\right),\ \left(\frac{3\pi}{5},\frac{7\pi}{5}\right),\ \left(\frac{4\pi}{5},\frac{6\pi}{5}\right) $$

である。

解説

$\sin\alpha=\sin\beta$ や $\cos\alpha=\cos\beta$ は，それぞれ差積公式を使うと積が $0$ になる式に変形できる。この処理により，「どちらか一方が $0$」という形に落とし込めるのが基本である。

（2） は （1） の結果をそのまま使う典型問題である。角の条件を一般式で出したあと，範囲 $0\leqq s<2\pi$ で整数 $n$ を絞る流れが重要である。

（3） はまず $\cos s=\cos t$ から $s+t=2\pi$ を導くのが核心である。ここで $s=t$ の可能性を条件 $s<t$ によって排除することが必要である。その後は $t=2\pi-s$ を代入すれば，$\sin5t$ が $-\sin5s$ に変わり，一気に解ける。

答え

**(1)**

$$ y=x+2n\pi \quad\text{または}\quad y=\pi-x+2n\pi \qquad (n\in\mathbb{Z}) $$

**(2)**

$$ s=2\pi-1,\ \frac{\pi-1}{5},\ \frac{3\pi-1}{5},\ \frac{5\pi-1}{5},\ \frac{7\pi-1}{5},\ \frac{9\pi-1}{5} $$

**(3)**

$$ (s,t)=\left(\frac{\pi}{5},\frac{9\pi}{5}\right),\ \left(\frac{2\pi}{5},\frac{8\pi}{5}\right),\ \left(\frac{3\pi}{5},\frac{7\pi}{5}\right),\ \left(\frac{4\pi}{5},\frac{6\pi}{5}\right) $$