基礎問題集
数学2 三角関数「三角関数」の問題93 解説
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解説
方針・初手
(\alpha+\beta+\gamma=\pi) から (\gamma=\pi-(\alpha+\beta)) とおけるので，(\cos\gamma) を (\cos(\alpha+\beta)) で表す。すると左辺から (1) を引いた式が積の形に分解でき，(\alpha,\beta,\gamma\ge0) よりその符号が判定できる。
解法1
条件 (\alpha+\beta+\gamma=\pi) より，
$$ \gamma=\pi-(\alpha+\beta) $$
である。したがって，
$$ \cos\gamma=\cos{\pi-(\alpha+\beta)}=-\cos(\alpha+\beta) $$
となるから，
$$ \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma-1 =\cos\alpha+\cos\beta-\cos(\alpha+\beta)-1 $$
である。
ここで和積公式を用いると，
$$ \cos\alpha+\cos\beta =2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $$
であり，また
$$ \cos(\alpha+\beta)+1 =2\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2} $$
であるから，
$$ \begin{aligned} \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma-1 &=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} -2\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2} \\ &=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2}-\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \right). \end{aligned} $$
さらに，
$$ \cos X-\cos Y=-2\sin\frac{X+Y}{2}\sin\frac{X-Y}{2} $$
を (X=\dfrac{\alpha-\beta}{2},\ Y=\dfrac{\alpha+\beta}{2}) に適用すると，
$$ \cos\frac{\alpha-\beta}{2}-\cos\frac{\alpha+\beta}{2} =2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2} $$
となる。よって，
$$ \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma-1 =4\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}. $$
ここで (\alpha+\beta=\pi-\gamma) より，
$$ \cos\frac{\alpha+\beta}{2} =\cos\frac{\pi-\gamma}{2} =\sin\frac{\gamma}{2} $$
であるから，
$$ \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma-1 =4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}. $$
(\alpha,\beta,\gamma\ge0) かつ (\alpha+\beta+\gamma=\pi) であるので， (0\le \alpha,\beta,\gamma\le\pi) であり，
$$ \sin\frac{\alpha}{2}\ge0,\quad \sin\frac{\beta}{2}\ge0,\quad \sin\frac{\gamma}{2}\ge0 $$
が成り立つ。したがって，
$$ 4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}\ge0 $$
であるから，
$$ \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\ge1 $$
が示された。
解説
この問題では，(\alpha+\beta+\gamma=\pi) という条件をそのまま使って
$$ \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma =1+4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2} $$
という恒等式に持ち込むのが本筋である。右辺は半角の正弦の積になっており，(\alpha,\beta,\gamma) がすべて (0) 以上であることから直ちに (1) 以上と分かる。
なお，等号は
$$ \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=0 $$
すなわち (\alpha,\beta,\gamma) の少なくとも1つが (0) のときに成り立つ。
答え
$$ \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma =1+4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}\ge1 $$
したがって，
$$ \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\ge1 $$
である。