解説

方針・初手

（1） は $f(2\cos t)$ を直接展開し，$\cos 3t=4\cos^3 t-3\cos t$，$\cos 2t=2\cos^2 t-1$ を用いて $2g(t)-1$ と一致することを示す。

（2） は左辺 $2g(\theta)\cos\theta$ を積和公式で変形し，$\theta=\dfrac{\pi}{7}$ だから $4\theta=\pi-3\theta$，すなわち $\cos 4\theta=-\cos 3\theta$ を使う。

（3） は （1） と （2） をつなげればよい。（2） から $g(\theta)=\dfrac12$ を出し，（1） に代入する。

解法1

まず

$$ f(x)=x^3-x^2-2x+1,\qquad g(t)=\cos 3t-\cos 2t+\cos t $$

である。

（1） $2g(t)-1=f(2\cos t)$ を示す

$,x=2\cos t$ とおくと，

$$ f(2\cos t)=(2\cos t)^3-(2\cos t)^2-2(2\cos t)+1 $$

より，

$$ f(2\cos t)=8\cos^3 t-4\cos^2 t-4\cos t+1 $$

となる。

一方，

$$ 2g(t)-1=2\cos 3t-2\cos 2t+2\cos t-1 $$

である。ここで

$$ \cos 3t=4\cos^3 t-3\cos t,\qquad \cos 2t=2\cos^2 t-1 $$

を用いると，

$$ \begin{aligned} 2g(t)-1 &=2(4\cos^3 t-3\cos t)-2(2\cos^2 t-1)+2\cos t-1 \\ &=8\cos^3 t-6\cos t-4\cos^2 t+2+2\cos t-1 \\ &=8\cos^3 t-4\cos^2 t-4\cos t+1 \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ 2g(t)-1=f(2\cos t) $$

が成り立つ。

（2） $\theta=\dfrac{\pi}{7}$ のとき，$2g(\theta)\cos\theta=1+\cos\theta-2g(\theta)$ を示す

まず左辺を展開する。

$$ 2g(\theta)\cos\theta =2(\cos 3\theta-\cos 2\theta+\cos\theta)\cos\theta $$

よって，

$$ 2g(\theta)\cos\theta =2\cos 3\theta\cos\theta-2\cos 2\theta\cos\theta+2\cos^2\theta $$

となる。ここで積和公式

$$ 2\cos A\cos B=\cos(A+B)+\cos(A-B) $$

および

$$ 2\cos^2\theta=1+\cos 2\theta $$

を用いると，

$$ \begin{aligned} 2g(\theta)\cos\theta &=(\cos 4\theta+\cos 2\theta)-(\cos 3\theta+\cos\theta)+(1+\cos 2\theta) \\ &=1-\cos\theta+2\cos 2\theta+\cos 4\theta-\cos 3\theta \end{aligned} $$

となる。

ここで $\theta=\dfrac{\pi}{7}$ であるから

$$ 4\theta=\frac{4\pi}{7}=\pi-\frac{3\pi}{7}=\pi-3\theta $$

であり，

$$ \cos 4\theta=\cos(\pi-3\theta)=-\cos 3\theta $$

が成り立つ。したがって，

$$ \begin{aligned} 2g(\theta)\cos\theta &=1-\cos\theta+2\cos 2\theta-\cos 3\theta-\cos 3\theta \\ &=1-\cos\theta+2\cos 2\theta-2\cos 3\theta \end{aligned} $$

となる。

一方，

$$ 1+\cos\theta-2g(\theta) =1+\cos\theta-2(\cos 3\theta-\cos 2\theta+\cos\theta) $$

より，

$$ 1+\cos\theta-2g(\theta) =1-\cos\theta+2\cos 2\theta-2\cos 3\theta $$

である。よって両者は一致し，

$$ 2g(\theta)\cos\theta=1+\cos\theta-2g(\theta) $$

が示された。

（3） $2\cos\dfrac{\pi}{7}$ は $f(x)=0$ の解であることを示す

$\theta=\dfrac{\pi}{7}$ とする。（2） より

$$ 2g(\theta)\cos\theta=1+\cos\theta-2g(\theta) $$

であるから，移項して

$$ 2g(\theta)(1+\cos\theta)=1+\cos\theta $$

を得る。

ここで $\theta=\dfrac{\pi}{7}$ なので $\cos\theta\neq -1$，したがって

$$ 1+\cos\theta\neq 0 $$

である。よって両辺を $1+\cos\theta$ で割ることができ，

$$ 2g(\theta)=1 $$

すなわち

$$ 2g\left(\frac{\pi}{7}\right)-1=0 $$

となる。

これを （1） の結果

$$ 2g(t)-1=f(2\cos t) $$

に $t=\dfrac{\pi}{7}$ として用いると，

$$ f\left(2\cos\frac{\pi}{7}\right)=2g\left(\frac{\pi}{7}\right)-1=0 $$

となる。したがって，

$$ 2\cos\frac{\pi}{7} $$

は3次方程式 $f(x)=0$ の解である。

解説

この問題の中心は，三角関数の式を多項式に落とし込むことである。（1） では $x=2\cos t$ と見ることで，$\cos 3t,\cos 2t,\cos t$ を含む式が3次式 $f(x)$ に対応することが分かる。

（2） では $\theta=\dfrac{\pi}{7}$ という特殊な角を使うため，$7\theta=\pi$ から $\cos 4\theta=-\cos 3\theta$ が得られる点が重要である。単なる積和公式だけでは終わらず，この角の条件を最後に使って整理するのが要点である。

（3） は （1） と （2） の連結であり，個別の計算よりも，前問の結果をどう利用するかを見る問題である。

答え

**(1)**

$$ 2g(t)-1=f(2\cos t) $$

が成り立つ。

**(2)**

$\theta=\dfrac{\pi}{7}$ のとき，

$$ 2g(\theta)\cos\theta=1+\cos\theta-2g(\theta) $$

が成り立つ。

**(3)**

$$ f\left(2\cos\frac{\pi}{7}\right)=0 $$

より，

$$ 2\cos\frac{\pi}{7} $$

は3次方程式 $f(x)=0$ の解である。